Start 
Na podstawie kilku początkowych wyrazów ciągu znaleźć jego wzór ogólny
\[(a_n)=(2,4,8,16,...)\]
Rozwiązanie
Zauważmy, że każdy następny wyraz naszego ciągu liczbowego jest dwa razy większy od poprzedniego,
dlatego nasz ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie równym 2.
Mamy:
\[a_1=2,\,\,q=2\]
Stąd:
\[a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 2^{n-1}=2^n\]
Odp. Wyraz ogólny naszego ciągu jest postaci \(a_n=2^n\)
Wskazówki
Ciąg geometryczny
Przepis na n-ty wyraz ciągu:
\[a_{n+1}=a_n\cdot q\]
Każdy następny wyraz ciągu geometrycznego powstaje przez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez liczbę \(q\).
Liczbę \(q\) nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.
Wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:
\[a_n=a_1\cdot q^{n-1}=a_k\cdot q^{n-k}\]
Kluczowa własność ciągu geometrycznego:
\[a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}\]
lub równoważnie
\[a^2_n={a_{n-1}\cdot a_{n+1}}\]
Środkowy wyraz jest średnią geometryczną wyrazów skrajnych (poprzedniego i następnego).
Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego (n-ta suma):
\[S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q},\,\,q\neq 1\]
lub
\[S_n=n\cdot a_1,\,\,q=1\]
Ciąg geometryczny jest:
- rosnący, gdy \(a_1>0\) i \(q>1\) lub \(a_1<0\) \(0<q<1\)
- malejący, gdy \(a_1<0\) i \(q>1\) lub \(a_1>0\) \(0<q<1\)
- stały, gdy \(q=1\)
- naprzemienny, gdy \(q=-1\)
Komentarzy (2)