Start 
Na podstawie kilku początkowych wyrazów ciągu znaleźć jego wzór ogólny
\[(a_n)=(-1,2,5,8,11,...)\]
Rozwiązanie
Zauważmy, że różnice między kolejnymi wyrazami naszego ciągu liczbowego są stałe i równe 3,
dlatego nasz ciąg jest ciągiem arytmetycznym. Mamy:
\[a_1=-1,\,\,r=3\]
Stąd:
\[a_n=a_1+(n-1)\cdot r=-1+(n-1)\cdot 3=-1+3n-3=3n-4\]
Odp. Wyraz ogólny ciągu jest postaci \(a_n=3n-4\)
Wskazówki
Ciąg arytmetyczny jest ciągiem, którego wyrazy różnią się o stałą liczbę \(r\), którą nazywamy różnicą ciągu.
Oznaczenia:
\(a_n\) - n-ty wyraz ciągu
\(a_1\) - pierwszy wyraz ciągu
\(r\) - różnica ciągu arytmetycznego
Przepis na n-ty wyraz ciągu:
\[a_{n+1}=a_n+r\]
każdy następny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego wyrazu ustalonej liczby \(r\).
Wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:
\[a_n=a_1+(n-1)\cdot r=a_k+(n-k)\cdot r\]
Kluczowa własność ciągu arytmetycznego:
\[a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\]
Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.
Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego (n-ta suma):
\[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2a_1+(n-1)\cdot r}{2}\cdot n\]
Ciąg arytmetyczny jest monotoniczny, a dokładniej jest:
- rosnący, gdy \(r>0\)
- malejący, gdy \(r<0\)
- stały, gdy \(r=0\)
Komentarzy (2)