Na podstawie kilku początkowych wyrazów ciągu znajdź jego wzór ogólny

\[(a_n)=(6,4,2,0,-2,...)\]

Rozwiązanie

Zauważmy, że różnice między kolejnymi wyrazami naszego ciągu liczbowego są stałe i równe -2,

dlatego nasz ciąg jest ciągiem arytmetycznym. Mamy:

\[a_1=6,\,\,r=-2\]

Stąd:

\[a_n=a_1+(n-1)\cdot r=6+(n-1)\cdot (-2)=6-2n+2=-2n+8\]

Odp. Wyraz ogólny ciągu jest postaci \(a_n=-2n+8\)

Ciąg arytmetyczny jest ciągiem, którego wyrazy różnią się o stałą liczbę \(r\), którą nazywamy różnicą ciągu.

Oznaczenia:

\(a_n\) - n-ty wyraz ciągu

\(a_1\) - pierwszy wyraz ciągu

\(r\) - różnica ciągu arytmetycznego

Przepis na n-ty wyraz ciągu:

\[a_{n+1}=a_n+r\]

każdy następny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego wyrazu ustalonej liczby \(r\).

Wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:

\[a_n=a_1+(n-1)\cdot r=a_k+(n-k)\cdot r\]

Kluczowa własność ciągu arytmetycznego:

\[a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\]

Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.

Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego (n-ta suma):

\[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2a_1+(n-1)\cdot r}{2}\cdot n\]

Ciąg arytmetyczny jest monotoniczny, a dokładniej jest: