NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 30 000 studentów. Dołącz i Ty!

Logowanie

Oblicz całkę podwójną

Całka podwójna - zad. 2

Rozwiązanie

Całka podwójna - zad. 2 - rozwiązanie

 Wskazówki

  1. Całkujemy po prostokącie \([a,b]\times[c,d]\) (gdzie \(a=0,\, b=5,\, c=1,\, d=6\)), więc możemy skorzystać ze wzoru (przejście na całki iterowane):
    \[\iint \limits_D f(x,y)\,dxdy=\int \limits_a^b\left( \int \limits_c^d f(x,y)\,dy\right)dx=\int \limits_c^d \left(\int \limits_a^b f(x,y)\,dx\right)dy\]
  2. W przykładzie funkcja podcałkowa \(f(x,y)=1\) jest funkcją o rozdzielonych zmiennych, czyli \(f(x,y)=g(x)h(y)\) (\(g(x)=1,h(y)=1\)), więc możemy rozdzielić całkę podwójną na iloczyn całek oznaczonych:
    \[\iint \limits_D f(x,y)\,dxdy=\int \limits_a^b\left( \int \limits_c^d f(x,y)\,dy\right)dx=\left(\int \limits_a^bg(x)\,dx\right)\left(\int \limits_c^d h(y)\,dy\right)\]
  3. Korzystamy z podstawowego wzoru na całkę nieoznaczoną (n=0):
    Całka z x do n-tej - wzór

Co to jest obszar normalny?

Obszar D jest obszarem normalnym w \(\mathbb{R}^2\) względem osi x, gdy jest postaci:

\(D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\,a\le x\le b,g(x)\le y\le h(x)\}\)

Natomiast D jest obszarem normalnym względem osi y, gdy:

\(D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\,a\le y\le b,g(y)\le x\le h(y)\}\)

 gdzie \(g(x),\,h(x),\,g(y),\,h(y)\) są funkcjami ograniczonymi i ciągłymi.

Ogólny sposób liczenia całek podwójnych po obszarach normalnych

Jeśli chcemy obliczyć całkę podwójną:

\[\iint \limits_D f(x,y)\,dxdy\]

po obszarze normalnym postaci:

\(D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\,a\le x\le b,g(x)\le y\le h(x)\}\)

to możemy zamienić taką całkę na całkę iterowaną:

\[\iint \limits_D f(x,y)\,dxdy=\int \limits_a^b\left( \int \limits_{g(x)}^{h(x)} f(x,y)\,dy\right)dx\]

Kolejność całkowania w przypadku obszaru normalnego postaci

\(D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\,a\le x\le b,g(x)\le y\le h(x)\}\)

  1. całkujemy najpierw po zmiennej y, otrzymujemy funkcję zmiennych x
  2. na koniec całkujemy po x i dostaniemy ostateczny wynik całki.

Przejście z całki iterowanej do iloczynu całek pojedyńczych

Jeżeli obszar normalny przyjmuje postać prostopadłościanu, tj:

\[D=\left\{a\le x\le b,\,c\le y\le d\right\}\]

i jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją o rozdzielonych zmiennych, czyli

\[f(x,y)=g_1(x)\cdot g_2(y)\]

wtedy możemy rozdzielić całkę podwójną na iloczyn całek pojedyńczych:

\[\iint \limits_D f(x,y)\,dxdy=\int \limits_a^b\left( \int \limits_c^d f(x,y)\,dz\,dy\right)dx=\int \limits_a^b g_1(x)\,dx\cdot \int\limits_c^d g_2(y)\,dy\]

 

Komentarzy (0)