Rozłożyć funkcję wymierną na ułamki proste

\[\frac{1}{x^2+4x-5}\]

Rozwiązanie

Zaczynamy od zapisania wyrażenia w mianowniku w postaci iloczynowej (rozkład na czynniki).

Jest to równanie kwadratowe, więc liczymy deltę i stosujemy znane wzory na pierwiastki równania kwadratowego:

\[\Delta=b^2-4ac=16+20=36\]

\[x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4-6}{2}=-5,\,\,\,x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4+6}{2}=1\]

Zatem:

\[{x^2+4x-5}=(x-1)(x+5)\]

Teraz możemy zapisać rozkład na ułamki proste naszego wyrażenia:

\[\frac{1}{x^2+4x-5}=\frac{1}{(x-1)(x+5)}\stackrel{(*)}{=}\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+5}\]

Szukamy liczb \(A,B\), które spełniają powyższe równanie dla każdego \(x\in\mathbb{R}\).

W tym celu mnożymy obie strony równania \((*)\) przez wyrażenie \((x-1)(x+5)\):

\[\frac{1}{(x-1)(x+5)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+5}\,\,/\,\,\cdot (x-1)(x+5)\]

stąd mamy:

\[1=A(x+5)+B(x-1)\]

a po uporządkowaniu:

\[1=(A+B)x+5A-B\]

Z równości wielomianów po obu stronach powyższego równania (porównując współczynniki przy tych samych potęgach x) otrzymujemy układ równań:

\[(**)\left\{\begin{array}{l}0=A+B\\1=5A-B\end{array}\right.\]

Dodając równania stronami otrzymujemy:

\[1=6A\]

stąd

\[A=\frac{1}{6}\]

Wstawiając \(A=-1\) do pierwszego równania w układzie równań \((**)\), otrzymujemy:

\[B=-\frac{1}{6}\]

Zatem rozkład na ułamki proste funkcji wymiernej z naszego przykładu przyjmuje następującą postać:

\[\frac{1}{x^2+4x-5}=\frac{\frac{1}{6}}{x-1}-\frac{\frac{1}{6}}{x+5}=\frac{1}{6(x-1)}-\frac{1}{6(x+5)}\]

Rzeczywiste ułamki proste to wyrażenia (funkcje wymierne) postaci:

\[\frac{A}{(x-a)^n},\,\,\,n\in\mathbb{N}\]
(rzeczywisty ułamek prosty pierwszego rodzaju)

lub

\[\frac{Ax+B}{(ax^2+bx+c)^n},\,\,\,n\in\mathbb{N}\]
(rzeczywisty ułamek prosty drugiego rodzaju)

gdzie \(A,B,a,b,c\in\mathbb{R}\) oraz \(\Delta=b^2-4ac<0\).

Zespolonym ułamkiem prostym nazywamy wyrażenie:

\[\frac{A}{(x-a)^n},\,\,\,n\in\mathbb{N}\]
(zespolony ułamek prosty pierwszego rodzaju)

gdzie \(a,A\in\mathbb{C}\).