Rozłóż funkcję wymierną na ułamki proste

\[\frac{1}{(x-1)(x-2)}\]

Rozwiązanie

Wyrażenie w mianowniku jest już zapisane w postaci iloczynowej, więc rozkład na ułamki proste będzie postaci:

\[(*)\,\,\,\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}\]

Szukamy liczb \(A,B\), które spełniają powyższe równanie dla każdego \(x\in\mathbb{R}\).

W tym celu możemy:

1. sprowadzić powyższe wyrażenie do wspólnego mianownika lub

2. pomnożyć obustronnie przez wyrażenie wspólny mianownik, czyli wyrażenie \((x-1)(x-2)\).

Ad. 1 Sprowadzenie do wspólnego mianownika:

\[\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}=\frac{A(x-2)}{(x-1)(x-2)}+\frac{B(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\]

\[=\frac{Ax-2A+Bx-B}{(x-1)(x-2)}=\frac{(A+B)x-2A-B}{(x-1)(x-2)}\]

Stąd:

\[\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{(A+B)x-2A-B}{(x-1)(x-2)}\]

Porównując liczniki ułamków po obu stronach, mamy:

\[1=(A+B)x-2A-B\]

Ad. 2 Mnożymy obie strony równania \((*)\) przez wyrażenie \((x-1)(x-2)\):

\[\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}\,\,/\,\,\cdot (x-1)(x-2)\]

stąd mamy:

\[1=A(x-2)+B(x-1)\]

a po uporządkowaniu:

\[1=(A+B)x-2A-B\]

Jak widzisz obie metody dają ten sam wynik.

Z równości wielomianów po obu stronach równania (porównując współczynniki przy tych samych potęgach x):

\[1=(A+B)x-2A-B\]

otrzymujemy układ równań:

\[(**)\left\{\begin{array}{l}0=A+B\\1=-2A-B\end{array}\right.\]

Dodając równania stronami otrzymujemy:

\[1=-A\]

stąd

\[A=-1\]

Wstawiając \(A=-1\) do pierwszego równania w układzie równań \((**)\), otrzymujemy:

\[B=1\]

Zatem rozkład na ułamki proste funkcji wymiernej z naszego przykładu przyjmuje następującą postać:

\[\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{-1}{x-1}+\frac{1}{x-2}\]

Rzeczywiste ułamki proste to wyrażenia (funkcje wymierne) postaci:

\[\frac{A}{(x-a)^n},\,\,\,n\in\mathbb{N}\]
(rzeczywisty ułamek prosty pierwszego rodzaju)

lub

\[\frac{Ax+B}{(ax^2+bx+c)^n},\,\,\,n\in\mathbb{N}\]
(rzeczywisty ułamek prosty drugiego rodzaju)

gdzie \(A,B,a,b,c\in\mathbb{R}\) oraz \(\Delta=b^2-4ac<0\).

Zespolonym ułamkiem prostym nazywamy wyrażenie:

\[\frac{A}{(x-a)^n},\,\,\,n\in\mathbb{N}\]
(zespolony ułamek prosty pierwszego rodzaju)

gdzie \(a,A\in\mathbb{C}\).