Start 
Wykonaj dzielenie wielomianów \(W(x):Q(x)\) i podaj resztę:
\(W(x)=x^3+5x^2+7\)
\(Q(x)=x^2+1\)
Rozwiązanie
\[\begin{array}{l}
(\,\,x^3+5x^2 + 7) : (x^2+1) = x+5 \\
\underline{-x^3 -x\qquad\qquad} \\
\qquad\quad 5x^2-x+7 \\
\qquad \underline{-5x^2 \qquad- 5\quad} \\
\qquad \qquad\quad {-x + 2} \\
\end{array}\]
Zatem iloraz wielomianów wynosi:
\[x+5\]
Reszta z dzielenia \(W(x):Q(x)\) wynosi:
\[-x+2\]
Na koniec sprawfdźmy wynik w kalkulatorze dzielenia wielomianów lub w kalkulatorze wolframalpha.
Wskazówki
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Zapisujemy dzielenie wielomianów
\[(x^3+5x^2 + 7) : (x^2+1)\]
2. Dzielimy \(x^3\) przez \(x^2\) i wynik zapisujemy po znaku równości
\[(\color{red}{x^3}+5x^2 + 7) : (\color{red}{x^2}+1)=\color{red}{x}\]
3. Mnożymy \(x\) przez \(x^2+1\), wynik zapisujemy z przeciwnymi znakami pod wyrażeniem \(x^3+5x^2+7\)
\[\begin{array}{l}
(\,\,x^3+5x^2 + 7) : (x^2+1) = x \\
{\color{red}{-x^3 -x}\qquad\qquad}
\end{array}\]
4. Dodajemy \(x^3+5x^2+7\) do \(-x^3-x\) i wynik zapisujemy pod kreską (nie piszemy nic jeśli wyrażenia się skracają)
\[\begin{array}{l}
(\,\,x^3+5x^2 + 7) : (x^2+1) = x\\
\underline{-x^3 -x\qquad\qquad} \\
\qquad\quad \color{red}{5x^2-x+7}
\end{array}\]
5. Dzielimy \(5x^2\) przez \(x^2\) i wynik zapisujemy po prawej stronie znaku równości
\[\begin{array}{l}
(\,\,x^3+5x^2 + 7) : (\color{red}{x^2}+1) = x+{\color{red}5} \\
\underline{-x^3 -x\qquad\qquad} \\
\qquad\quad \color{red}{5x^2}-x+7
\end{array}\]
6. Mnożymy \(5\) razy \(x^2+1\) i wynik zapisujemy z przeciwnymi znakami pod wyrażeniem \(5x^2-x+7\)
\[\begin{array}{l}
(\,\,x^3+5x^2 + 7) : (x^2+1) = x+5 \\
\underline{-x^3 -x\qquad\qquad} \\
\qquad\quad 5x^2-x+7 \\
\qquad {\color{red}{-5x^2} \qquad\color{red}{- 5}\quad}
\end{array}\]
7. Dodajemy \(5x^2-x+7\) do \(-5x^2-5\) i wynik zapisujemy pod kreską (nie piszemy nic gdy wyrażenia się skracają)
\[\begin{array}{l}
(\,\,x^3+5x^2 + 7) : (x^2+1) = x+5 \\
\underline{-x^3 -x\qquad\qquad} \\
\qquad\quad 5x^2-x+7 \\
\qquad \underline{-5x^2 \qquad- 5\quad} \\
\qquad \qquad\quad \color{red}{-x + 2} \\
\end{array}\]
8. Otrzymaliśmy wyrażenie \(-x+2\), które jest stopnia mniejszego niż stopień wyrażenia przez które dzielimy \(x^2+1\).
Oznacza to, że należy tu zakończyć dzielenie, a wyrażenie \(-x+2\) stanowi resztę z dzielenia.
UWAGA: Warto zauważyć, że wielomian \(W(x)\) da się zapisać w postaci:
\[x^3+5x^2+7=(x^2+1)(x+5)-x+2\]
Komentarzy (0)