W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Wykonaj dzielenie wielomianów \(W(x):Q(x)\) i podaj resztę:

\(W(x)=x^3+5x^2+7\)
\(Q(x)=x^2+1\)

Rozwiązanie

\[\begin{array}{l}
(\,\,x^3+5x^2 + 7) :  (x^2+1)  = x+5 \\
\underline{-x^3 -x\qquad\qquad}   \\
\qquad\quad 5x^2-x+7 \\
\qquad \underline{-5x^2 \qquad- 5\quad} \\
\qquad \qquad\quad {-x + 2}   \\
\end{array}\]

Zatem iloraz wielomianów wynosi:

\[x+5\]

Reszta z dzielenia \(W(x):Q(x)\) wynosi:

\[-x+2\]

Na koniec sprawfdźmy wynik w kalkulatorze dzielenia wielomianów lub w kalkulatorze wolframalpha.

Wskazówki

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Zapisujemy dzielenie wielomianów

\[(x^3+5x^2 + 7) :  (x^2+1)\]

2. Dzielimy \(x^3\) przez \(x^2\) i wynik zapisujemy po znaku równości

\[(\color{red}{x^3}+5x^2 + 7) :  (\color{red}{x^2}+1)=\color{red}{x}\]

3. Mnożymy \(x\) przez \(x^2+1\), wynik zapisujemy z przeciwnymi znakami pod wyrażeniem \(x^3+5x^2+7\)

\[\begin{array}{l}
(\,\,x^3+5x^2 + 7) :  (x^2+1)  = x \\
{\color{red}{-x^3 -x}\qquad\qquad}
\end{array}\]

4. Dodajemy \(x^3+5x^2+7\) do \(-x^3-x\) i wynik zapisujemy pod kreską (nie piszemy nic jeśli wyrażenia się skracają)

\[\begin{array}{l}
(\,\,x^3+5x^2 + 7) :  (x^2+1)  = x\\
\underline{-x^3 -x\qquad\qquad}   \\
\qquad\quad \color{red}{5x^2-x+7}
\end{array}\]

5. Dzielimy \(5x^2\) przez \(x^2\) i wynik zapisujemy po prawej stronie znaku równości

\[\begin{array}{l}
(\,\,x^3+5x^2 + 7) :  (\color{red}{x^2}+1)  = x+{\color{red}5} \\
\underline{-x^3 -x\qquad\qquad}   \\
\qquad\quad \color{red}{5x^2}-x+7
\end{array}\]

6. Mnożymy \(5\) razy \(x^2+1\) i wynik zapisujemy z przeciwnymi znakami pod wyrażeniem \(5x^2-x+7\)

\[\begin{array}{l}
(\,\,x^3+5x^2 + 7) :  (x^2+1)  = x+5 \\
\underline{-x^3 -x\qquad\qquad}   \\
\qquad\quad 5x^2-x+7 \\
\qquad {\color{red}{-5x^2} \qquad\color{red}{- 5}\quad}
\end{array}\]

7. Dodajemy \(5x^2-x+7\) do \(-5x^2-5\) i wynik zapisujemy pod kreską (nie piszemy nic gdy wyrażenia się skracają)

\[\begin{array}{l}
(\,\,x^3+5x^2 + 7) :  (x^2+1)  = x+5 \\
\underline{-x^3 -x\qquad\qquad}   \\
\qquad\quad 5x^2-x+7 \\
\qquad \underline{-5x^2 \qquad- 5\quad} \\
\qquad \qquad\quad \color{red}{-x + 2}   \\
\end{array}\]

8. Otrzymaliśmy wyrażenie \(-x+2\), które jest stopnia mniejszego niż stopień wyrażenia przez które dzielimy \(x^2+1\).

Oznacza to, że należy tu zakończyć dzielenie, a wyrażenie \(-x+2\) stanowi resztę z dzielenia.

UWAGA: Warto zauważyć, że wielomian \(W(x)\) da się zapisać w postaci:

\[x^3+5x^2+7=(x^2+1)(x+5)-x+2\]

Komentarzy (0)