Start 
Znaleźć całkę równania różniczkowego
\[y'=y-1\]
Rozwiązanie
UWAGA: "Znaleźć całkę równania różniczkowego" oznacza, że musimy to równanie po prostu rozwiązać, czyli znaleźć taką funkcję y(x), która spełnia równanie różniczkowe (po wstawieniu do równania otrzymamy tożsamość, L=P).
Sposób 1 - Metoda rozdzielonych zmiennych
Jak się okazuje, nasze równanie różniczkowe jest równaniem o rozdzielonych zmiennych (patrz wskazówki do zadania):
\[(1)\,\,\,\frac{dy}{dx}=y-1\,/\,\cdot dx\]
\[dy=(y-1)dx\,/\,:(y-1)\]
\[\frac{dy}{y-1}=dx\]
\[\int \frac{dy}{y-1}=\int\,1\, dx\]
\[\ln|y-1|=x+c_1\]
\[(2)\,\,\,e^{\ln|y-1|}=e^{x+c_1}\]
\[|y-1|=e^{x}\cdot e^{c_1}\]
\[y-1=\pm e^{c_1}\cdot e^{x}\]
\[(3)\,\,\,\pm e^{c_1}=c\]
\[y-1= c e^{x}\]
\[y= c e^{x}+1\]
Sposób 2 - Rozwiązanie przy użyciu transformaty Laplace'a
Zapisujemy równanie różniczkowe w równoważnej postaci:
\[y'-y+1=0\]
Działamy transformatą Laplace'a na lewą i prawą stronę równania różniczkowego:
\[L[y'(x)-y(x)+1](s)=L[0](s)\]
Z addystywności transformaty Laplace'a, mamy:
\[L[y'(x)](s)-L[y(x)](s)+L[1](s)=L[0](s)\]
Pondato (korzystamy z tablic transformaty Laplace'a):
\[L[0](s)=0\]
\[L[1](s)=\frac{1}{s}\]
\[L[y'(x)](s)=sL[y(x)](s)-y(0)\]
Stąd równanie jest postaci:
\[sL[y(x)](s)-y(0)-L[y(x)](s)+\frac{1}{s}=0\]
Wprowadzamy oznaczenie:
\[L[y(x)](s)=F(s)\]
Wtedy nasze równanie jest postaci:
\[sF(s)-y(0)-F(s)+\frac{1}{s}=0\]
Stąd:
\[F(s)\cdot (s-1)-y(0)+\frac{1}{s}=0\]
\[F(s)\cdot (s-1)=y(0)-\frac{1}{s}\]
\[F(s)=\left(y(0)-\frac{1}{s}\right)\cdot \frac{1}{s-1}\]
\[F(s)=\frac{y(0)}{s-1}-\frac{1}{s(s-1)}\]
Rozkładamy prawą stronę na ułamki proste:
\[\frac{1}{s(s-1)}=\frac{-1}{s}+\frac{1}{s-1}\]
stąd:
\[F(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s-1}+\frac{y(0)}{s-1}=\frac{1}{s}+\frac{y(0)-1}{s-1}\]
Możemy teraz dokonać transformacji odwrotnej (korzystamy addytywności oraz liniowości transformaty oraz z tablic TL):
\[y(t)=L^{-1}[F(s)](t)=L^{-1}\left[\frac{1}{s}+\frac{y(0)-1}{s-1}\right](t)=\]\[=L^{-1}\left[\frac{1}{s}\right](t)+(y(0)-1)\cdot L^{-1}\left[\frac{1}{s-1}\right](t)=1+(y(0)-1)e^{x}\]
Powyżej skorzystaliśmy ze wzoru (z tablic TL):
\[L\left[e^{ax}\right](s)=\frac{1}{s-a}\]
stąd:
\[L^{-1}\left[\frac{1}{s-a}\right](x)=e^{ax}\]
Dla \(a=1\) mamy:
\[L^{-1}\left[\frac{1}{s-1}\right](x)=e^{x}\]
Ostatecznie rozwiązaniem naszego równania różniczkowego z zadanymi warunkami początkowymi jest:
\[y(x)=(y(0)-1)e^{x}+1=ce^x+1\]
(powyżej przyjmujemy \(c=y(0)-1\))
Wskazówki
Sposób 1
W równaniach różniczkowych często stosuje się skrótowy zapis, np.:
\[y'=y-1\]
należy rozumieć jako:
\[y'(x)=y(x)-1\]
czyli \(y=y(x)\) jest funkcją zmiennej x.
Ponadto:
\[y'=y'(x)=\frac{dy}{dx}\]
tzn. że pochodna y jest pochodną "po x-ie".
1. Zauważamy, że jest to równanie o rozdzielonych zmiennych, czyli równanie postaci:
\[y'=f(x)\cdot g(y),\]
gdzie f(x) jest funkcją zmiennej x, a g(y) jest funkcją y.
Przypominamy sobie, że równania o zmiennych rozdzielonych rozwiązuje się poprzez dzielenie obu stron równania przez funkcję g(y) i mnożenie przez dx, a następnie całkuje się obie strony, tzn.
\[\frac{dy}{dx}=f(x)\cdot g(y)\]
\[\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx\]
\[\int\frac{1}{g(y)}\,dy=\int f(x)\,dx\]
2. Nakładamy funkcję eksponencjalną na obie strony równania:
\[\ln|y-1|=x+c_1\]
dzięki temu mamy:
\[e^{\ln|y-1|}=e^{x+c_1}=e^x\cdot e^{c_1}\]
\(e^y\) jest funkcją odwrotną do \(\ln y\), więc \(|y-1|=e^x\cdot e^{c_1}\).
3. Stosujemy podstawienie \(c=\pm e^{c_1}\), które pozwala nam uprościć zapis (zastępujemy stałą \(e^{c_1}\) stałą \(c\)).
Sposób 2
Transformata Laplaca
\[F(s)=L[f(x)](s)=\int\limits_{0}^\infty e^{-sx}f(x)dx\]
Własności transformaty Laplace'a:
(Addytywność i liniowość)
\[L[a_1 f_1(x)+a_2f_2(x)+...+a_n f_n(x)](s)=a_1L[f_1(x)](s)+a_2L[f_2(x)](s)+...+a_n L[f_n(x)](s)\]
\[L[0](s)=0\]
\[L[1](s)=\frac{1}{s}\]
\[L[x](s)=\frac{1}{s^2}\]
\[L\left[e^{ax}\right](s)=\frac{1}{s-a}\]
(transformata pochodnej funkcji)
\[L[f'(x)](s)=sL[f(x)](s)-f(0)=sF(s)-f(0)\]
Schemat rozwiązywania równań I-go rzędu za pomocą transformaty Laplace'a:
Mamy do rozwiązania równanie różniczkowe I-go rzędu o stałych współczynnikach:
\[ay'(x)+by(x)+c=0\]
Dokonujemy transformacji (Laplace'a) obu stron równania:
\[L[a y'(x)+by(x)+c](s)=L[0][s]\]
Z addytywności i liniowości transformaty Laplace'a:
\[a\cdot L[y(x)](s)+b\cdot L[y(x)](s)+c\cdot L[1](s)=0\]
Z własności transformaty Laplace'a (z tablic TL):
\[a\big(s L[y(x)](s)-y(0)\big)+bL[y(x)](s)+\frac{c}{s}=0\]
Niech:
\[L[y(x)](s)=F(s)\]
wtedy:
\[F(s)(as+b)-ay(0)+\frac{c}{s}=0\]
\[F(s)(as+b)=ay(0)-\frac{c}{s}\]
\[F(s)=\left(ay(0)-\frac{c}{s}\right)\cdot \frac{1}{as+b}\]
\[F(s)=\frac{ay(0)}{as+b}-\frac{c}{s(as+b)}=\frac{y(0)}{s+\frac{b}{a}}-\frac{c}{s(as+b)}\]
Następnie rozkładamy prawą stronę równości na ułamki proste:
\[\frac{c}{s(as+b)}=\frac{c_1}{s}+\frac{c_3}{s+\frac{b}{a}}\]
stąd:
\[F(s)=\frac{c_1}{s}+\frac{y(0)+c_3}{s+\frac{b}{a}}\]
Teraz dokonujemy transformacji odwrotnej otrzymując rozwiązanie równania różniczkowego:
\[y(x)=c_1+(y(0)+c_3)e^{\frac{b}{a}x}=c_1+c_2e^{\frac{b}{a}x}\]
Sprawdzenie poprawności obliczeń
Podstawiamy rozwiązanie (otrzymaną funkcję \(y(x)\)) do równania różniczkowego i sprawdzamy, czy lewa strona jest równa prawej.
\[y'(x)=(ce^x+1)'=ce^x\]
\[y(x)-1=ce^x+1-1=ce^x\]
\[y'(x)=ce^x=y(x)-1\]
L=P
Komentarzy (0)