Korzystając z własności transponowania macierzy uzasadnij, że

\((A-B)^T=A^T-B^T\)

Rozwiązanie

Wykorzystamy własności transponowania macierzy \((A+B)^T=A^T+B^T\) i \((aB)^T=aB^T\), dla \(a\in\mathbb{R}\), stąd:

\[(A-B)^T=(A+(-1)B)^T=A^T+[(-1)B]^T=A^T-B^T\]

Wskazówki

1. Korzystamy z faktu, że \(A-B=A+(-1)B\)
2. Korzystamy z własności transpozycji \((A+B)^T=A^T+B^T\) i \((aB)^T=aB^T\), dla \(a\in\mathbb{R}\)
   
   

Własności transpozycji macierzy

• \((A+B)^T=A^T+B^T\) - transpozycja sumy macierzy jest równa sumie macierzy transponowanych
  
• \((aA)^T=aA^T\), dla \(a\in\mathbb{R}\) - transpozycja macierzy przemnożonej przez liczbę daje macierz transponowaną przemnożoną przez liczbę
• \((A^T)^T=A\) - podwójna transpozycja daje macierz wyjściową
  
• \((A\cdot B)^T=B^T\cdot A^T\) - transponowanie iloczynu macierzy jest równe iloczynowi w odwróconej kolejności macierzy transponowanych
• \(\det(A)=\det(A^T)\) - transponowanie nie zmienia wyznacznika macierzy
  
• \(tr(A)=tr(A^T)\) - transponowanie nie zmienia śladu macierzy

• « Poprzednie

Komentarzy (2)

• Imię
• E-mail (niewidoczny)
• Komentarz

WYŚLIJ

• 

  • Odpowiedz

  sebo! 8 lat temu

  @gorkalez Dziękuję, błąd poprawiony.
• 

  • Odpowiedz

  gorkalez 8 lat temu

  tr to ślad macierzy, zatem w własnościach powinno być raczej napisane: \(tr(A)=tr(A^T)\) - transponowanie nie zmienia ŚLADU macierzy (ostatni wiersz)