W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Sprawdzić metodą zerojedynkową czy podana formuła logiczna (prawo de Morgana) jest tautologią

\[\sim (p \wedge q) \Leftrightarrow \left[ (\sim p) \vee (\sim q) \right]\]

Rozwiązanie

Metoda zerojedynkowa polega na sprawdzeniu, czy wartość logiczna badanej formuły (zdania) jest równa 1 dla każdego możliwego wartościowania zmiennych w niej występujących.

Najłatwiej zrobić to w tabeli wartości logicznych (szczegóły we wskazówkach do zadania):

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1&2&3&4&5&6&7&8 \\\hline p & q & p \wedge q & \sim (p \wedge q) & \sim p & \sim q & \sim p \vee (\sim q) & \color{red}{\sim (p\wedge q)\Leftrightarrow \left[(\sim p)\vee (\sim q)\right]}\\ \hline 1&1&1&\textbf{0}&0&0&\textbf{0}&\color{red}{1} \\ \hline 1&0&0&\textbf{1}&0&1&\textbf{1}&\color{red}{1}\\ \hline 0&1&0&\textbf{1}&1&0&\textbf{1}&\color{red}{1} \\ \hline 0&0&0&\textbf{1}&1&1&\textbf{1}&\color{red}{1} \\ \hline \end{array}\]

W ostatniej kolumnie tabeli (na czerwono) otrzymaliśmy same jedynki, zatem badana formuła logiczna (prawo de Morgana) jest tautologią.

Omówienie rozwiązania krok po kroku

1. Tworzymy dwie pierwsze kolumny tabeli dla zdań \(p\) i \(q\). Wypełniamy kolumny wszystkimi możliwymi kombinacjami wartości tych zdań, czyli liczbami 0 i 1.

Te kombinacje to:

1,1 - prawda, prawda
1,0 - prawda, fałsz
0,1 - fałsz, prawda
0,0 - fałsz, fałsz

UWAGA: Powyższy krok jest uniwersalny we wszystkich zadaniach dotyczących tabelek logicznych i sprawdzania tautologii.

2. Tworzymy kolejną kolumnę tabeli dla wartości logicznych zdania \(p \wedge q\) (koniunkcja), którą wypełniamy na podstawie dwóch pierwszych kolumn (czyli wartości zdań \(p\) i \(q\)).

Kolumnę trzecią wypełnianiamy w następujący sposób:

1 i 1 daje 1 - prawda i prawda daje prawdę
1 i 0 daje 0 - prawda i fałsz daje fałsz
0 i 1 daje 0 - fałsz i prawda daje fałsz
0 i 0 daje 0 - fałsz i fałsz daje fałsz

3. Tworzymy kolejną kolumnę tabeli dla wartości logicznych zdania \(\sim (p \wedge q)\) (negacja konunkcji zdań), którą wypełniamy na podstawie trzeciej kolumny (czyli wartości zdania \(p \wedge q\)).

Kolumnę czwartą wypełnianiamy poprzez zaprzeczenie zdania \(p \wedge q\):

zaprzeczenie 1 daje 0 - zaprzeczenie prawdy daje fałsz
zaprzeczenie 0 daje 1 - zaprzeczenie fałszu daje prawdę
zaprzeczenie 0 daje 1 - zaprzeczenie fałszu daje prawdę
zaprzeczenie 0 daje 1 - zaprzeczenie fałszu daje prawdę

4. Tworzymy kolejne dwie kolumny tabeli dla wartości logicznych zdań \(\sim p\) (negacja zdania \(p\)) i \(\sim q\) (negacja zdania \(q\)), które wypełniamy na podstawie pierwszych dwóch kolumn (czyli wartości zdań \(p\) i \(q\)).

Kolumnę piątą wypełnianiamy poprzez zaprzeczenie zdania \(p\):

zaprzeczenie 1 daje 0 - zaprzeczenie prawdy daje fałsz
zaprzeczenie 1 daje 0 - zaprzeczenie prawdy daje fałsz
zaprzeczenie 0 daje 1 - zaprzeczenie fałszu daje prawdę
zaprzeczenie 0 daje 1 - zaprzeczenie fałszu daje prawdę

W analogiczny sposób wypełniamy kolumnę 6.

5. Tworzymy kolejną kolumnę tabeli dla wartości logicznych zdania \(\sim p \vee (\sim q)\) (alternatywa zaprzeczeń), którą wypełniamy na podstawie kolumn 5 i 6 (czyli wartości zdań \(\sim p\) i \(\sim q\)).

Kolumnę 7 wypełnianiamy następująco:

0 lub 0 daje 0 - fałsz lub fałsz daje fałsz
0 lub 1 daje 1 - fałsz lub prawda daje prawdę
1 lub 0 daje 1 - prawda lub fałsz daje prawdę
1 lub 1 daje 1 - prawda lub prawda daje prawdę

6. Ostatnią kolumnę wypełniamy na podstawie kolumn 4 i 7 (czyli wartości zdań \(\sim (p \wedge q)\) oraz \sim p \vee (\sim q)).

Kolumnę 8 wypełnianiamy następująco:

0 wtedy i tylko wtedy, gdy 0 daje 1 - fałsz wtedy i tylko wtedy, gdy fałsz daje prawdę
1 wtedy i tylko wtedy, gdy 1 daje 1 - prawda wtedy i tylko wtedy, gdy prawda daje prawdę
1 wtedy i tylko wtedy, gdy 1 daje 1 - prawda wtedy i tylko wtedy, gdy prawda daje prawdę
1 wtedy i tylko wtedy, gdy 1 daje 1 - prawda wtedy i tylko wtedy, gdy prawda daje prawdę

Otrzymujemy same jedynki, czyli wartości logiczne "prawda", co oznacza, że badane zdanie jest tautologią.

Podstawowe pojęcia rachunku zdań

Co to jest zdanie logiczne?

Formułą logiczną (zdaniem logicznym) nazywamy stwierdzenie, któremu można przyporządkować jedną z dwóch wartości:

  • 1 - prawda
  • 0 - fałsz

Co to jest tautologia?

Tautologia to zdanie logiczne, które jest zawsze prawdziwe, innymi słowy jest to zdanie przyjmujące wartość prawda (1).

Tabele wartości logicznych zdań

Negacja zdania \(\sim p\), oznacza nieprawda, że \(p\):

\[\begin{array}{|c|c|} \hline p & \sim p \\ \hline 1&0 \\ \hline 0&1 \\ \hline \end{array}\]

Alternatywa zdań \(p\vee q\), oznacza \(p\) lub \(q\):

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \vee q \\ \hline 1&1&1 \\ \hline 1&0&1 \\ \hline 0&1&1 \\ \hline 0&0&0 \\ \hline\end{array}\]

Koniunkcja zdań \(p \wedge q\), oznacza \(p\) i \(q\):

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \wedge q \\ \hline 1&1&1 \\ \hline 1&0&0 \\ \hline 0&1&0 \\ \hline 0&0&0 \\ \hline \end{array}\]

Implikacja \(p\Rightarrow q\), oznacza \(p\) implikuje \(q\):

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \Rightarrow q \\ \hline 1&1&1 \\ \hline 1&0&0 \\ \hline 0&1&1 \\ \hline 0&0&1 \\ \hline \end{array}\]

Równoważność \(p\Leftrightarrow q\), oznacza \(p\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(q\):

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \Leftrightarrow q\\ \hline 1&1&1 \\ \hline 1&0&0 \\ \hline 0&1&0 \\ \hline 0&0&1 \\ \hline \end{array}\]

Komentarzy (0)