Oblicz odległość między punktami

\[P=(1,-3,0),\,\,Q=(3,-5,1)\]

Rozwiązanie

Liczymy wprost ze wzoru na odległość między dwoma punktami (wzór na długość odcinka \(PQ\)):

\[|PQ|=\sqrt{(3-1)^2+(-5-(-3))^2+(1-0)^2}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3\]

Odp. Odległość punktów \(P\) i \(Q\) jest równa 3.

Jak obliczyć odległość między dwoma punktami w przestrzeni \(R^3\)?

Mamy dane dwa punkty w przestrzeni trójwymiarowej (takie punkty mają 3 współrzędne x,y oraz z):

\[P=(x_1,y_1,z_1)\]

\[Q=(x_2,y_2,z_2)\]

wtedy wzór na odległość dwóch punktów (\(P\) i \(Q\)) w przestrzeni \(R^3\) jest następujący:

\[|PQ|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\]

Zauważ, że odległość między dwoma punktami \(P\) i \(Q\) jest dokładnie taka sama jak długość odcinka \(PQ\) oraz długość wektora \(\vec{PQ}\).

Wzór na odległość dwóch punktów na płaszczyźnie

Mamy dane dwa punkty na płaszczyźnie (takie punkty mają 2 współrzędne x oraz y):

\[P=(x_1,y_1)\]

\[Q=(x_2,y_2)\]

wtedy wzór na odległość dwóch punktów (\(P\) i \(Q\)) na płaszczyźnie jest następujący:

\[|PQ|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]