Start 
Zbadaj przebieg zmienności funkcji
\[f(x)=x^3-3x^2+2\]
Rozwiązanie
Dziedzina i zbiór wartości funkcji
Nasza funkcja jest wielomianem, więc jej dziedzinę stanowią wszystkie liczby rzeczywiste:
\[D_f=\mathbb{R}\]
podobnie przeciwdziedzina zawiera wszystkie liczby rzeczywiste:
\[ZW_f=\mathbb{R}\]
Miejsca zerowe
obliczamy z równania:
\[f(x)=0\]
\[x^3-3x^2+2=0\]
Pierwiastków całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych szukamy wśród dzielników jego wyrazu wolnego (który wynosi 2), czyli liczb \(\{-1,1,-2,2\}\):
\[f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2\neq 0\]
\[f(1)=1^3-3\cdot 1^2+2= 0\]
\[f(-2)=(-2)^3-3(-2)^2+2\neq 0\]
\[f(2)=2^3-3\cdot 2^2+2\neq 0\]
Widzimy, że jednym z miejsc zerowych jest liczba \(x=1\), dlatego istnieje wielomian stopnia 2 (dwumian kwadratowy) \(ax^2+bx+c\), taki, że:
\[0=f(x)=x^3-3x^2+2=(x-1)(ax^2+bx+c)\]
gdzie \(a,b,c\in\mathbb{R}\).
Po wykonaniu mnożenia i uporządkowaniu mamy:
\[(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c\]
Dlatego:
\[x^3-3x^2+2=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c\]
Porównując współczynniki przy \(x\) w wielomianach po obu stronach, mamy:
\[a=1,\,\,c=-2,\,\,b=-2\]
zatem:
\[0=f(x)=x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2)\]
stąd:
\[(x-1)(x^2-2x-2)=0\]
UWAGA: Do powyrzszej równości można dojść też w inny sposób, mianowicie przez wyciąganie wyrażeń przed nawias:
\[0=f(x)=x^3-3x^2+2=x^3-x^2-2x^2+2=\]
\[=x^2(x-1)-2(x^2-1)=x^2(x-1)-2(x-1)(x+1)=\]
\[=(x-1)(x^2-2(x+1))=(x-1)(x^2-2x-2)\]
Iloczyn wyrażeń jest równy 0, gdy pierwsze wyrażenie jest równe 0 lub gdy drugie wyrażenie jest równe 0.
Drugie wyrażenie jest równe 0, gdy:
\[x^2-2x-2=0\]
\[\Delta=(-2)^2-4\cdot (-2)=4+8=12\]
\[\sqrt{\Delta}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\]
\[x_1=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}=1-\sqrt{3}\]
\[x_2=\frac{2+2\sqrt{3}}{2}=1+\sqrt{3}\]
Zatem miejscami zerowymi funkcji \(f(x)\) są liczby \(1,\,1-\sqrt{3},\,1+\sqrt{3}\).
Punkty przecięcia z osią Oy
funkcja przecina oś Oy dla \(x=0\):
\[f(0)=0^3-3\cdot 0^2+2=2\]
Funkcja \(f(x)\) przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych \((0,2)\).
Parzystość, okresowość i ciągłość
Funkcja \(f(x)\) jako wielomian nie jest parzysta, nieparzysta ani okresowa, jest natomiast ciągła.
Łatwo można zauważyć, że istnieją \(x\in\mathbb{R}\), takie, że (np.\(x=2\)):
\[f(x)\neq f(-x)\]
\[f(x)\neq -f(-x)\]
\[f(x)\neq f(x+T)\]
dla dowolnego \(T\in\mathbb{R}\).
Funkcja \(f(x)\) jest ciągła, ponieważ dla każdego \(x,x_0\in\mathbb{R}\) mamy:
\[\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\]
Granice na krańcach dziedziny
liczymy granice funkcji w \(-\infty\) i \(+\infty\):
\[\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty} (x^3-3x^2+2)=\big[-\infty-\infty+2\big]=-\infty\]
\[\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty} (x^3-3x^2+2)=\big[+\infty-\infty+2\big]=\]
\[=\lim\limits_{x\to +\infty}x^3\left(1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^3}\right)=\big[+\infty(1+0+0)\big]=+\infty\]
Asymptoty
Funkcja nie posiada asymptot pionowych, ponieważ jej dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste.
Sprawdzamy istnienie asymptot ukośnych:
\[\lim\limits_{x\to - \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to - \infty} \frac{x^3-3x^2+2}{x}=\lim\limits_{x\to -\infty} \left(x^2-3x+\frac{2}{x}\right)=[\infty+\infty+0]=+\infty\]
\[\lim\limits_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty} \left(x^2-3x+\frac{2}{x}\right)=\lim\limits_{x\to +\infty}x^2\left(1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^3}\right)=[+\infty(1-0+0)]=+\infty\]
Zatem nie istnieją asymptoty ukośne funkcji (w tym nie istnieją asymptoty poziome).
Przedziały monotoniczności
Liczymy pochodną funkcji:
\[f'(x)=(x^3-3x^2+2)'=(x^3)'-3(x^2)'+(2)'=3x^2-6x\]
\[f'(x)>0\,\,\Leftrightarrow\,\,3x^2-6x>0\]
\[3x(x-2)>0\,\,\Leftrightarrow\,\,x\in(-\infty,0)\cup(2,+\infty)\]
Zatem funkcja jest rosnąca dla \(x\in(-\infty,0)\cup(2,+\infty)\).
\[f'(x)<0\,\,\Leftrightarrow\,\,3x^2-6x<0\]
\[3x(x-2)<0\,\,\Leftrightarrow\,\,x\in(0,2)\]
Zatem funkcja jest malejąca dla \(x\in(0,2)\).
Ekstrema
Pochodna funkcji zeruje się w punktach \(x=0\) i \(x=2\), więc tylko w tych punktach może istnieć ekstremum lokalne.
\[f'(x)=0\,\,\Leftrightarrow\,\,3x^2-6x=0\]
\[3x(x-2)=0\,\,\Leftrightarrow\,\,x=0\,\,\vee\,\,x=2\]
Funkcja rośnie na lewo od \(x=0\) i maleje na prawo, więc w punkcie \(x=0\) występuje maksimum lokalne.
Funkcja maleje na lewo od punktu \(x=2\) i rośnie na prawo od niego, więc w punkcie \(x=2\) występuje minimum lokalne.
Przedziały wypukłości i wklęsłości
Liczymy drugą pochodną funkcji:
\[f''(x)=(f'(x))'=(3x^2-6x)'=6x-6=6(x-1)\]
\[f''(x)>0\,\,\Leftrightarrow\,\,6(x-1)>0\]
\[x>1\]
Zatem funkcja jest wypukła dla \(x>1\).
\[f''(x)<0\,\,\Leftrightarrow\,\,6(x-1)<0\]
\[x<1\]
Zatem funkcja jest wklęsła dla \(x<1\).
Punkty przegięcia
Druga pochodna funkcji zeruje się tylko w punkcie \(x=1\), więc tylko w tym punkcie może występować punkt przegięcia.
\[f''(x)=0\,\,\Leftrightarrow\,\,6(x-1)=0\]
\[x=1\]
\(f''(x)<0\) dla \(x<1\) i \(f''(x)>0\) dla \(x>1\), więc druga pochodna zmienia znak w punkcie \(x=1\), co oznacza, że funkcja ma tam punkt przegięcia.
Tabela przebiegu zmienności
| \(\,x\,\) | \(\,-\infty\,\) | \(\,-\infty<x<0\,\) | \(\,x=0\,\) | \(\,0<x<1\,\) | \(\,x=1\,\) | \(\,1<x<2\,\) | \(\,x=2\,\) | \(\,2<x<+\infty\,\) | \(+\infty\) |
| \(\,f''(x)\,\) | \(\,-\infty\,\) | - | - | - | 0 | + | + | + | \(+\infty\) |
| \(\,f'(x)\,\) | \(\,+\infty\,\) | + | 0 | - | -3 | - | 0 | + | \(+\infty\) |
| \(\,f(x)\,\) | \(\,-\infty\,\) | \(\nearrow\) | 2 | \(\searrow\) | 0 | \(\searrow\) | -2 | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
| max | p.p. | min |
Wykres funkcji
Na koniec wykres funkcji \(f(x)=x^3-3x^2+2\):
Wskazówki
Badanie przebiegu zmienności funkcji krok po kroku
- Wyznaczamy dziedzinę i zbiór wartości funkcji.
- Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji (jeśli istnieją).
- Wyznaczamy punkt przecięcia z osią Oy (jeśli istnieje).
- Opisujemy inne charakterystyczne własności funkcji (parzystość i nieparzystość, okresowość, ciągłość).
- Obliczamy wartości lub granice funkcji w punktach leżących na krańcach dziedziny.
- Wyznaczamy asymptot funkcji (asymptoty pionowe, poziome lub ukośne).
- Obliczamy pochodną funkcji i wyznaczamy przedziały monotoniczności (czyli gdzie funkcja jest rosnąca lub malejąca itp.).
- Wyznaczamy ekstrema lokalne funkcji korzystając z pochodnej.
- Obliczamy drugą pochodną funkcji i wyznaczamy przedziały wypukłości i wklęsłości.
- Wyznaczamy punkty przegięcia funkcji korzystając z drugiej pochodnej.
- Rysujemy szkic wykresu funkcji. Wykres nie musi być dokładny, ale powinien uwzględniać charakterystyczne cechy funkcji opisane w poprzednich punktach (np. monotoniczność, asymptoty itd.).
Monotoniczność funkcji a pochodna
Jeżeli
- \(f'(x)>0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest rosnąca dla \(x\in(a,b)\)
- \(f'(x)<0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest malejąca dla \(x\in(a,b)\)
- \(f'(x)\ge 0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest niemalejąca dla \(x\in(a,b)\)
- \(f'(x)\le 0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest nierosnąca dla \(x\in(a,b)\)
- \(f'(x)=0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest stała dla \(x\in(a,b)\)
Ekstrema lokalne a pochodna funkcji
Funkcja ciągła i różniczkowalna (mająca pochodną) może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, które należą do dziedziny i w których jej pochodna jest równa zero (lub nie istnieje), czyli szukamy takich punktów \(x_0\), że
\(f'(x_0)=0\).
Jeżeli istnieje \(\delta>0\) taka, że
- \(f'(x)>0\), dla \(x\in(x_0-\delta,x_0)\) i \(f'(x)<0\), dla \(x\in(x_0,x_0+\delta)\), to funkcja posiada maksimum lokalne (właściwe) w punkcie \(x_0\);
- \(f'(x)<0\), dla \(x\in(x_0-\delta,x_0)\) i \(f'(x)<0\), dla \(x\in(x_0,x_0+\delta)\), to funkcja posiada minimum lokalne (właściwe) w punkcie \(x_0\).
Tłumaczenie na "ludzki" język:
Jeżeli funkcja jest rosnąca na lewo od punktu \(x_0\) i malejąca na prawo od \(x_0\), to w punkcie \(x_0\) mamy maksimum lokalne.
Jeżeli funkcja jest malejąca na lewo od punktu \(x_0\) i rosnąca na prawo od \(x_0\), to w punkcie \(x_0\) mamy minimum lokalne.
Funkcja może być rosnąca lub majejąca na lewo lub na prawo od punktu \(x_0\) nawet na małym odcinku. Dlatego właśnie ekstremum ma nazwę lokalne.
Ekstrema lokalne a druga pochodna funkcji
Jeżeli funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna, druga pochodna funkcji jest ciągła oraz
\(f'(x_0)=0,\,\,\,f''(x_0)\neq 0\),
to funkcja f(x) posiada ekstremum lokalne w punkcie \(x_0\).
Jeżeli
- \(f''(x_0)<0\), to funkcja ma maksimum lokalne w punkcie \(x_0\);
- \(f''(x_0)>0\), to funkcja ma minimum lokalne w punkcie \(x_0\).
Wypukłość i wklęsłość a druga pochodna
Jeżeli
- \(f'''(x)>0\), dla \(x\in(a,b)\) to funkcja f(x) jest ściśle wypukła na przedziale (a,b);
- \(f'''(x)<0\), dla \(x\in(a,b)\) to funkcja f(x) jest ściśle wklęsła na przedziale (a,b).
Punkty przegięcia a druga pochodna
Funkcja może mieć punkty przegięcia, tylko w punktach, które należą do dziedziny i w których jej druga pochodna jest równa zero (lub nie istnieje), czyli szukamy takich punktów \(x_0\), że
\(f''(x_0)=0\).
Następnie sprawdzamy, czy \(f''(x)\) zmienia znak w punkcie \(x_0\) (czyli sprawdzamy, czy)
- \(f''(x)<0\), dla \(x<x_0\) i \(f''(x)>0\), dla \(x>x_0\) lub
- \(f''(x)>0\), dla \(x<x_0\) i \(f''(x)<0\), dla \(x>x_0\)
wtedy punkt \(x_0,f(x_0)\) jest punktem przegięcia funkcji f(x).
Komentarzy (0)