Start 
Zbadaj przebieg zmienności funkcji
Rozwiązanie
Tabela przebiegu zmienności
| \(\,x\,\) | \(-\infty\) | \(-\infty<x<-\sqrt{2}\) | \(-\sqrt{2}^-\) | \(-\sqrt{2}^+\) | \(-\sqrt{2}<x<0\) | \(0\) | \(1<x<\sqrt{2}\) | \(\sqrt{2}^-\) | \(\sqrt{2}^+\) | \(\sqrt{2}<x<+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(\,f''(x)\,\) | \(\,0\,\) | + | \(+\infty\) | \(-\infty\) | - | - | - | \(-\infty\) | \(+\infty\) | + | \(0\) |
| \(\,f'(x)\,\) | \(\,0\,\) | + | \(+\infty\) | \(+\infty\) | + | 0 | - | \(-\infty\) | \(-\infty\) | - | \(0\) |
| \(\,f(x)\,\) | \(\,1\,\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\searrow\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(1\) |
| max |
Wykres funkcji
Wskazówki
Badanie przebiegu zmienności funkcji krok po kroku
- Wyznaczamy dziedzinę i zbiór wartości funkcji.
- Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji (jeśli istnieją).
- Wyznaczamy punkt przecięcia z osią Oy (jeśli istnieje).
- Opisujemy inne charakterystyczne własności funkcji (parzystość i nieparzystość, okresowość, ciągłość).
- Obliczamy wartości lub granice funkcji w punktach leżących na krańcach dziedziny.
- Wyznaczamy asymptot funkcji (asymptoty pionowe, poziome lub ukośne).
- Obliczamy pochodną funkcji i wyznaczamy przedziały monotoniczności funkcji (gdzie funkcja jest rosnąca lub malejąca itp.).
- Wyznaczamy ekstrema lokalne funkcji korzystając z pochodnej funkcji.
- Obliczamy drugą pochodną funkcji i wyznaczamy przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji.
- Wyznaczamy punkty przegięcia funkcji korzystając z drugiej pochodnej.
- Rysujemy szkic wykresu funkcji. Wykres nie musi być dokładny, ale powinien uwzględniać charakterystyczne cechy funkcji opisane w poprzednich punktach (np. monotoniczność, asymptoty itd.).
Monotoniczność funkcji a pochodna
Jeżeli
- \(f'(x)>0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest rosnąca dla \(x\in(a,b)\)
- \(f'(x)<0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest malejąca dla \(x\in(a,b)\)
- \(f'(x)\ge 0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest niemalejąca dla \(x\in(a,b)\)
- \(f'(x)\le 0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest nierosnąca dla \(x\in(a,b)\)
- \(f'(x)=0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest stała dla \(x\in(a,b)\)
Ekstrema lokalne a pochodna funkcji
Funkcja ciągła i różniczkowalna (mająca pochodną) może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, które należą do dziedziny i w których jej pochodna jest równa zero (lub nie istnieje), czyli szukamy takich punktów \(x_0\), że
\(f'(x_0)=0\).
Jeżeli istnieje \(\delta>0\) taka, że
- \(f'(x)>0\), dla \(x\in(x_0-\delta,x_0)\) i \(f'(x)<0\), dla \(x\in(x_0,x_0+\delta)\), to funkcja posiada maksimum lokalne (właściwe) w punkcie \(x_0\);
- \(f'(x)<0\), dla \(x\in(x_0-\delta,x_0)\) i \(f'(x)<0\), dla \(x\in(x_0,x_0+\delta)\), to funkcja posiada minimum lokalne (właściwe) w punkcie \(x_0\).
Tłumaczenie na "ludzki" język:
Jeżeli funkcja jest rosnąca na lewo od punktu \(x_0\) i malejąca na prawo od \(x_0\), to w punkcie \(x_0\) mamy maksimum lokalne.
Jeżeli funkcja jest malejąca na lewo od punktu \(x_0\) i rosnąca na prawo od \(x_0\), to w punkcie \(x_0\) mamy minimum lokalne.
Funkcja może być rosnąca lub majejąca na lewo lub na prawo od punktu \(x_0\) nawet na małym odcinku. Dlatego właśnie ekstremum ma nazwę lokalne.
Ekstrema lokalne a druga pochodna funkcji
Jeżeli funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna, druga pochodna funkcji jest ciągła oraz
\(f'(x_0)=0,\,\,\,f''(x_0)\neq 0\),
to funkcja f(x) posiada ekstremum lokalne w punkcie \(x_0\).
Jeżeli
- \(f''(x_0)<0\), to funkcja ma maksimum lokalne w punkcie \(x_0\);
- \(f''(x_0)>0\), to funkcja ma minimum lokalne w punkcie \(x_0\).
Wypukłość i wklęsłość a druga pochodna
Jeżeli
- \(f'''(x)>0\), dla \(x\in(a,b)\) to funkcja f(x) jest ściśle wypukła na przedziale (a,b);
- \(f'''(x)<0\), dla \(x\in(a,b)\) to funkcja f(x) jest ściśle wklęsła na przedziale (a,b).
Punkty przegięcia a druga pochodna
Funkcja może mieć punkty przegięcia, tylko w punktach, które należą do dziedziny i w których jej druga pochodna jest równa zero (lub nie istnieje), czyli szukamy takich punktów \(x_0\), że
\(f''(x_0)=0\).
Następnie sprawdzamy, czy \(f''(x)\) zmienia znak w punkcie \(x_0\) (czyli sprawdzamy, czy)
- \(f''(x)<0\), dla \(x<x_0\) i \(f''(x)>0\), dla \(x>x_0\) lub
- \(f''(x)>0\), dla \(x<x_0\) i \(f''(x)<0\), dla \(x>x_0\)
wtedy punkt \(x_0,f(x_0)\) jest punktem przegięcia funkcji f(x).
Komentarzy (2)
Tabelka przebiegu zmienności dodana :-)