Start 
Oblicz granicę funkcji
\[\lim\limits_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x}\]
Rozwiązanie
Sposób 1 - Reguła de L'Hospitala
Do obliczenia granicy zastosujemy regułę de L'Hospitala, w tym celu liczymy pochodne funkcji stojących w liczniku i mianowniku:
\[\lim\limits_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\stackrel{H}{=}\lim\limits_{x\to \infty} \frac{(\ln x)'}{(x)'}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=0\]
Sposób 2 - Twierdzenie o 3 funkcjach
Zauważmy, że dla dużych x (wystarczy \(x>4\)):
\[\ln x\le \sqrt{x}\]
Można to łatwo uzasadnić zauważając, że funkcja:
\[(f(x)=\sqrt{x}-\ln x\]
jest dodatnia dla pewnego \(x_0\) i rosnąca dla wszystkich \(x>x_0\). Wystarczy policzyć pochodną funkcji \(f(x)\) i sprawdzić dla jakich x, \(f'(x)>0\) (wtedy \(f(x)\) jest rosnąca).
Co w rezultacie oznacza, że dla dużych x:
\[f(x)=\sqrt{x}-\ln x>0\]
Zatem dla dużych x (wystarczy, że \(x>4\)) mamy:
\[0\le \frac{\ln x}{x}\le \frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\]
Mamy:
\[\lim\limits_{x\to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}=0\]
Zatem na mocy twierdzenia o trzech funkcjach:
\[\lim\limits_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x}=0\]
Wskazówki
Sposób 1
W rozwiązaniu korzystamy z reguły de L'Hospitala (piszemy wtedy duże H nad znakiem równości, tak jak w rozwiązaniu zadania).
Uwaga: Błędem byłoby "rozwiązanie" przykładu w następujący sposób:
\[\lim\limits_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=1\,\,-\,\,\textrm{źle!!!}\]
Symbol \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\) jest symbolem nieoznaczonym i wcale nie oznacza, że granica będzie równa 1 lub 0 (może tak, być ale nie musi - trzeba to sprawdzić!).
Zobacz następujący przykład:
\(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{5x}{x}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right],\) ale
\[\lim\limits_{x\to \infty} \frac{5x}{x}=\lim\limits_{x\to \infty} 5=5\]
Inny przykład
\(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{5x^2}{x}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right],\) ale
\[\lim\limits_{x\to \infty} \frac{5x^2}{x}=\lim\limits_{x\to \infty} 5x=\infty\]
I na koniec:
\(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{5x}{x^3}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right],\) ale
\[\lim\limits_{x\to \infty} \frac{5x}{x^3}=\lim\limits_{x\to \infty} \frac{5}{x^2}=0\]
Jak widzisz z symbolem \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\) może być różnie.
W matematyce nie możesz zgadywać, najlepiej zastosuj regułę de L'Hospitala (zobacz poniżej).
Reguła de L'Hospitala - teoria
Jeżeli\[\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\left[\frac{0}{0}\right]\,\,\,\textrm{lub}\,\,\,\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\]istnieją pochodne f'(x) i g'(x) (w otoczeniu punktu \(x_0\)) oraz istnieje granica\[\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\]to\[\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\]
UWAGA 1: Reguła de L'Hospitala "działa" też dla granic jednostronnych.
UWAGA 2: Reguła de L'Hospitala "NIE DZIAŁA" bezpośrednio dla innych symboli nieoznaczonych, tj. \([\infty-\infty],\,\,\,[0\cdot \infty],\,\,\,\left[1^{\infty}\right],\,\,\,\left[\infty^{0}\right],\,\,\,\left[0^{0}\right]\)
Jak przekształcać symbole nieoznaczone, aby uzyskać \(\frac{0}{0}\) lub \(\frac{\infty}{\infty}\)?
W wielu zadaniach nie można bezpośrednio zastosować reguły de L'Hospitala, ponieważ mamy inny symbol nieoznaczony niż \(\frac{0}{0}\) lub \(\frac{\infty}{\infty}\).
Trzeba wtedy wykonać pewne przekształcenia, które pozwolą uzyskać jeden z symboli \(\frac{0}{0}\) lub \(\frac{\infty}{\infty}\) i następnie zastosować regułę de L'Hospitala.
Oto najczęściej stosowane "chwyty":
1. Gdy \(f\cdot g\to\left[0\cdot \infty\right]\), to możemy zastosować tożsamość \(f\cdot g=\frac{f}{\frac{1}{g}}\) otrzymując symbol nieoznaczony \(\frac{0}{0}\) lub \(\frac{\infty}{\infty}\)
(ten motyw pojawił się w rozwiązaniu zadania)
2. Gdy \(\frac{1}{f}\pm \frac{1}{g}\to\left[\infty- \infty\right]\), to możemy zastosować tożsamość \(\frac{1}{f}\pm \frac{1}{g}=\frac{g\pm f}{f\cdot g}\) otrzymując symbol nieoznaczony \(\frac{0}{0}\).
3. Gdy \(f-g\to\left[\infty- \infty\right]\), to możemy zastosować tożsamość \(f-g=\frac{\frac{1}{g}-\frac{1}{f}}{\frac{1}{f\cdot g}}\) otrzymując symbol nieoznaczony \(\frac{0}{0}\).
4. Gdy \(f^g\to\left[1^\infty\right]\) lub \([0^\infty]\) lub \([0^0]\), to możemy zastosować tożsamość \(f^g=e^{g\ln f}\) otrzymując symbol nieoznaczony \(0\cdot \infty\), który dalej można przekształcić do symbolu \(\frac{0}{0}\) lub \(\frac{\infty}{\infty}\) (patrz punk 1).
Sposób 2
Twierdzenie o trzech funkcjach
Jeżeli funkcje f(x), g(x), h(x) spełniają warunki:
\[(1)\quad f(x)\le g(x)\le h(x)\]\[(2)\quad \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0} h(x)=g\](\(x_0\) może być liczbą lub może być równe \(\infty\)) to\[\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=g.\]
Przykłady funkcji występujących w graniacach, które można obliczyć przy użyciu twierdzenia o 3 funkcjach
\[-1\le \sin x\le 1,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[-1\le \cos x\le 1,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[-\frac{\pi}{2}\le arctg\, x\le \frac{\pi}{2},\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[0\le arcctg\, x\le \pi,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[-1\le sgn(x)\le 1,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[x-1\le E(x)=\lfloor{x}\rfloor\le x,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]
gdzie \(sgn(x)\) to funkcja signum, czyli\[sgn(x)=\left\{\begin{array}{cc}1,&\textrm{dla}\,\,\,x>0\\0,&\textrm{dla}\,\,\,x=0\\-1,&\textrm{dla}\,\,\,x<0\end{array}\right.\]
natomiast \(E(x)=\lfloor{x}\rfloor\) to część całkowita z \(x\), czyli:\[E(x)=\max\{k\in\mathbb{Z}:\,\,k\le x\}\]
Komentarzy (0)