W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Oblicz granicę funkcji

\[\lim\limits_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x}\]

Rozwiązanie

Sposób 1 - Reguła de L'Hospitala

Do obliczenia granicy zastosujemy regułę de L'Hospitala, w tym celu liczymy pochodne funkcji stojących w liczniku i mianowniku:

\[\lim\limits_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\stackrel{H}{=}\lim\limits_{x\to \infty} \frac{(\ln x)'}{(x)'}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=0\]

Sposób 2 - Twierdzenie o 3 funkcjach

Zauważmy, że dla dużych x (wystarczy \(x>4\)):

\[\ln x\le \sqrt{x}\]

Można to łatwo uzasadnić zauważając, że funkcja:

\[(f(x)=\sqrt{x}-\ln x\]

jest dodatnia dla pewnego \(x_0\) i rosnąca dla wszystkich \(x>x_0\). Wystarczy policzyć pochodną funkcji \(f(x)\) i sprawdzić dla jakich x, \(f'(x)>0\) (wtedy \(f(x)\) jest rosnąca).

Co w rezultacie oznacza, że dla dużych x:

\[f(x)=\sqrt{x}-\ln x>0\]

Zatem dla dużych x (wystarczy, że \(x>4\)) mamy:

\[0\le \frac{\ln x}{x}\le \frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\]

Mamy:

\[\lim\limits_{x\to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}=0\]

Zatem na mocy twierdzenia o trzech funkcjach:

\[\lim\limits_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x}=0\]

Wskazówki

Sposób 1

W rozwiązaniu korzystamy z reguły de L'Hospitala (piszemy wtedy duże H nad znakiem równości, tak jak w rozwiązaniu zadania).

Uwaga: Błędem byłoby "rozwiązanie" przykładu w następujący sposób:

\[\lim\limits_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=1\,\,-\,\,\textrm{źle!!!}\]

Symbol \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\) jest symbolem nieoznaczonym i wcale nie oznacza, że granica będzie równa 1 lub 0 (może tak, być ale nie musi - trzeba to sprawdzić!).

Zobacz następujący przykład:

\(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{5x}{x}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right],\) ale

\[\lim\limits_{x\to \infty} \frac{5x}{x}=\lim\limits_{x\to \infty} 5=5\]

Inny przykład

\(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{5x^2}{x}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right],\) ale

\[\lim\limits_{x\to \infty} \frac{5x^2}{x}=\lim\limits_{x\to \infty} 5x=\infty\]

I na koniec:

\(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{5x}{x^3}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right],\) ale

\[\lim\limits_{x\to \infty} \frac{5x}{x^3}=\lim\limits_{x\to \infty} \frac{5}{x^2}=0\]

Jak widzisz z symbolem \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\) może być różnie.

W matematyce nie możesz zgadywać, najlepiej zastosuj regułę de L'Hospitala (zobacz poniżej).

Reguła de L'Hospitala - teoria

Jeżeli\[\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\left[\frac{0}{0}\right]\,\,\,\textrm{lub}\,\,\,\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\]istnieją pochodne f'(x) i g'(x) (w otoczeniu punktu \(x_0\)) oraz istnieje granica\[\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\]to\[\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\]

UWAGA 1: Reguła de L'Hospitala "działa" też dla granic jednostronnych.

UWAGA 2: Reguła de L'Hospitala "NIE DZIAŁA" bezpośrednio dla innych symboli nieoznaczonych, tj. \([\infty-\infty],\,\,\,[0\cdot \infty],\,\,\,\left[1^{\infty}\right],\,\,\,\left[\infty^{0}\right],\,\,\,\left[0^{0}\right]\)

Jak przekształcać symbole nieoznaczone, aby uzyskać \(\frac{0}{0}\) lub \(\frac{\infty}{\infty}\)?

W wielu zadaniach nie można bezpośrednio zastosować reguły de L'Hospitala, ponieważ mamy inny symbol nieoznaczony niż \(\frac{0}{0}\) lub \(\frac{\infty}{\infty}\).

Trzeba wtedy wykonać pewne przekształcenia, które pozwolą uzyskać jeden z symboli \(\frac{0}{0}\) lub \(\frac{\infty}{\infty}\) i następnie zastosować regułę de L'Hospitala.
Oto najczęściej stosowane "chwyty":

1. Gdy \(f\cdot g\to\left[0\cdot \infty\right]\), to możemy zastosować tożsamość \(f\cdot g=\frac{f}{\frac{1}{g}}\) otrzymując symbol nieoznaczony \(\frac{0}{0}\) lub \(\frac{\infty}{\infty}\)
(ten motyw pojawił się w rozwiązaniu zadania)

2. Gdy \(\frac{1}{f}\pm \frac{1}{g}\to\left[\infty- \infty\right]\), to możemy zastosować tożsamość \(\frac{1}{f}\pm \frac{1}{g}=\frac{g\pm f}{f\cdot g}\) otrzymując symbol nieoznaczony \(\frac{0}{0}\).

3. Gdy \(f-g\to\left[\infty- \infty\right]\), to możemy zastosować tożsamość \(f-g=\frac{\frac{1}{g}-\frac{1}{f}}{\frac{1}{f\cdot g}}\) otrzymując symbol nieoznaczony \(\frac{0}{0}\).

4. Gdy \(f^g\to\left[1^\infty\right]\) lub \([0^\infty]\) lub \([0^0]\), to możemy zastosować tożsamość \(f^g=e^{g\ln f}\) otrzymując symbol nieoznaczony \(0\cdot \infty\), który dalej można przekształcić do symbolu \(\frac{0}{0}\) lub \(\frac{\infty}{\infty}\) (patrz punk 1).

Sposób 2

Twierdzenie o trzech funkcjach

Jeżeli funkcje f(x), g(x), h(x) spełniają warunki:
\[(1)\quad f(x)\le g(x)\le h(x)\]\[(2)\quad \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0} h(x)=g\](\(x_0\) może być liczbą lub może być równe \(\infty\)) to\[\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=g.\]

Przykłady funkcji występujących w graniacach, które można obliczyć przy użyciu twierdzenia o 3 funkcjach

\[-1\le \sin x\le 1,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[-1\le \cos x\le 1,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[-\frac{\pi}{2}\le arctg\, x\le \frac{\pi}{2},\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[0\le arcctg\, x\le \pi,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[-1\le sgn(x)\le 1,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[x-1\le E(x)=\lfloor{x}\rfloor\le x,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]

gdzie \(sgn(x)\) to funkcja signum, czyli\[sgn(x)=\left\{\begin{array}{cc}1,&\textrm{dla}\,\,\,x>0\\0,&\textrm{dla}\,\,\,x=0\\-1,&\textrm{dla}\,\,\,x<0\end{array}\right.\]

natomiast \(E(x)=\lfloor{x}\rfloor\) to część całkowita z \(x\), czyli:\[E(x)=\max\{k\in\mathbb{Z}:\,\,k\le x\}\]

Komentarzy (0)