W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic niewłaściwych oblicz

\[\lim\limits_{x\to 0}\left(\sin x+\frac{1}{x^2}\right)\]

Rozwiązanie

Skorzystamy z faktów, że granica sumy funkcji jest równa sumie granic tych funkcji, z własności granic funkcji ciągłych oraz z własności granic niewłaściwych:

\[\lim\limits_{x\to 0}\left(\sin x+\frac{1}{x^2}\right)=\lim\limits_{x\to 0}\sin x+\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=0+\left[\frac{1}{0^+}\right]=+\infty\]Na rysunku poniżej możesz zobaczyć zachowanie funkcji \(f(x)=\sin x+\frac{1}{x^2}\) przy \(x\to 0\)
(funkcja "ucieka" do nieskończoności, zbliża się do osi OY, ale nigdy jej nie przetnie):

 wykres sinx plus 1 przez x kwadrat

Wskazówki

W granicy wykorzystujemy również fakt, że \(\sin 0=0\)

Twierdzenie o arytmetyce granic funkcji

Jeżeli istnieją granice \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) i \(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\), to:

Granica sumy funkcji jest równa sumie granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)+ g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)+ \lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]Granica różnicy funkcji jest równa  różnicy granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)- g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)-\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]Granica iloczynu liczby (stałej) przez funkcję jest równa iloczynowi liczby przez granicę funkcji:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot \lim\limits_{x\to x_0}f(x)\]Granica iloczynu funkcji jest równa iloczynowi granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)\cdot g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\cdot \lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]Granica ilorazu funkcji jest równa ilorazowi granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)},\,\,gdy\,\,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\neq 0\]Granica funkcji \(f(x)\) podniesionej do potęgi równej funkcji \(g(x)\) jest równa potędze granic tych funkcji:\[\lim\limits_{x\to x_0}\left(\big(f(x)\big)^{g(x)}\right)=\left(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\right)^{\left(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\right)}\]

Jak liczyć granice funkcji ciągłych?

Granica funkcji \(f(x)\) ciągłej w punkcie \(x_0\) przy \(x\to x_0\) jest równa wartości tej funkcji w punkcie \(x_0\), czyli \(f(x_0)\):\[\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\]Obrazowo, funkcja \(f(x)\) jest ciągła w jakimś punkcie \(x_0\) (należącym do jej dziedziny), gdy wykres tej funkcji można poprowadzić przez punkt \(x_0\) bez odrywania ręki (długopisu, ołówka itp.).

Jak liczyć granice niewłaściwe?

1. Granica z wyrażenia: liczba + "nieskończoność" = "nieskończoność"

\[g+\infty=\infty+g=\infty,\,\,\,gdy\,\,\,-\infty<g\le \infty\]

2. Granica z wyrażenia: liczba razy "nieskończoność" = "nieskończoność"

\[g\cdot\infty=\infty\cdot g=\infty,\,\,\,gdy\,\,\,0<g\le \infty\]

3. Granica z wyrażenia: liczba dzielona przez "nieskończoność" = 0

\[\frac{g}{\infty}=0,\,\,\,gdy\,\,\,-\infty<g<\infty\]

4. Granica z wyrażenia: liczba dzielona przez 0 = "nieskończoność"

\[\frac{g}{0^+}=\infty,\,\,\,gdy\,\,\,0<g<\infty\]

5. Granica z wyrażenia: liczba do potęgi "nieskończoność" = 0, gdy liczba jest dodatnia i mniejsza od 1

\[g^{\infty}=0,\,\,\,gdy\,\,\,0<g<1\]

6. Granica z wyrażenia: liczba do potęgi "nieskończoność" = "nieskończoność", gdy liczba jest większa od 1

\[g^{\infty}=\infty,\,\,\,gdy\,\,\,1<g\le \infty\]

7. Granica z wyrażenia: "nieskończoność" do potęgi liczba = 0, gdy liczba jest ujemna

\[\infty^{g}=0,\,\,\,gdy\,\,\,-\infty<g< 0\]

8. Granica z wyrażenia: "nieskończoność" do potęgi liczba = "nieskończoność", gdy liczba jest dodatnia

\[\infty^{g}=\infty,\,\,\,gdy\,\,\,0<g\le \infty\]

 

Komentarzy (0)