Start 
Korzystając z własności granic funkcji oblicz
\[\lim\limits_{x\to 0}(2x+\sin(x^2))\]
Rozwiązanie
Skorzystamy z faktów, że granica sumy funkcji jest sumą granic, granica iloczynu funkcji jest iloczynem granic oraz własności granic funkcji ciągłych (funkcje \(f(x)=2x\) i \(g(x)=\sin(x^2)\) są ciągłe jako iloczyn i złożenie funkcji ciągłych):
\[\lim\limits_{x\to 0}(2x+\sin(x^2))=2\cdot \lim\limits_{x\to 0}x+\lim\limits_{x\to 0}\sin(x^2)=2\cdot 0+\sin(0^2)=0\]
Wskazówki
Arytmetyka granic funkcji
Jeżeli istnieją granice \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) i \(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\), to:
Granica sumy funkcji jest równa sumie granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)+ g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)+ \lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]Granica różnicy funkcji jest równa różnicy granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)- g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)-\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]Granica iloczynu liczby (stałej) przez funkcję jest równa iloczynowi liczby przez granicę funkcji:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot \lim\limits_{x\to x_0}f(x)\]Granica iloczynu funkcji jest równa iloczynowi granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)\cdot g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\cdot \lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]Granica ilorazu funkcji jest równa ilorazowi granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)},\,\,gdy\,\,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\neq 0\]Granica funkcji \(f(x)\) podniesionej do potęgi równej funkcji \(g(x)\) jest równa potędze granic tych funkcji:\[\lim\limits_{x\to x_0}\left(\big(f(x)\big)^{g(x)}\right)=\left(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\right)^{\left(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\right)}\]
Granice funkcji ciągłych
Granica funkcji \(f(x)\) ciągłej w punkcie \(x_0\) przy \(x\to x_0\) jest równa wartości tej funkcji w punkcie \(x_0\), czyli \(f(x_0)\):\[\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f\big(\lim\limits_{x\to x_0} x\big)=f(x_0)\]Obrazowo, funkcja \(f(x)\) jest ciągła w jakimś punkcie \(x_0\) (należącym do jej dziedziny), gdy wykres tej funkcji można poprowadzić przez punkt \(x_0\) bez odrywania ręki (długopisu, ołówka itp.).
Z własności granic funkcji ciągłych korzystamy przy liczeniu granicy z \(\sin(x^2)\):
\[\lim\limits_{x\to 0} \sin(x^2)=\sin(\lim\limits_{x\to 0} x^2)=\sin(0^2)=0\]
Komentarzy (0)