W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach oblicz granicę

Granica funkcji, zadanie 26

Rozwiązanie

Granice funkcji - rozwiązanie zadania 26

Wskazówki

W rozwiązaniu korzystamy z nierówności:

\[-1\le \sin(x)\le 1\]

Twierdzenie o trzech funkcjach

Jeżeli funkcje f(x), g(x), h(x) spełniają warunki

  1. \(f(x)\le g(x)\le h(x)\) (w pewnym otoczeniu punktu \(x_0\))
  2. \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0} h(x)=g\)
    (\(x_0\)
    może być liczbą lub może być równe \(\infty\))

to \(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=g.\)

Jak radzić sobie z granicami niewłaściwymi?

Granica z wyrażenia: liczba + "nieskończoność" = "nieskończoność"

\(g+\infty=\infty+g=\infty,\,\,gdy\,\,-\infty<g\le \infty\) 

Granica z wyrażenia: liczba razy "nieskończoność" = "nieskończoność"

\(g\cdot\infty=\infty\cdot g=\infty,\,\,gdy\,\,0<g\le \infty\)

Granica z wyrażenia: liczba dzielona przez "nieskończoność" = 0

\(\frac{g}{\infty}=0,\,\,gdy\,\,-\infty<g<\infty\)

Granica z wyrażenia: liczba dzielona przez 0 = "nieskończoność"

\(\frac{g}{0^+}=\infty,\,\,gdy\,\,0<g<\infty\)

Granica z wyrażenia: liczba do potęgi "nieskończoność" = 0, gdy liczba jest dodatnia i mniejsza od 1

\(g^{\infty}=0,\,\,gdy\,\,0<g<1\)

Granica z wyrażenia: liczba do potęgi "nieskończoność" = "nieskończoność", gdy liczba jest większa od 1

\(g^{\infty}=\infty,\,\,gdy\,\,1<g\le \infty\)

Granica z wyrażenia: "nieskończoność" do potęgi liczba = 0, gdy liczba jest ujemna

\(\infty^{g}=0,\,\,gdy\,\,-\infty<g< 0\)

Granica z wyrażenia: "nieskończoność" do potęgi liczba = "nieskończoność", gdy liczba jest dodatnia

\(\infty^{g}=\infty,\,\,gdy\,\,0<g\le \infty\)

 

Komentarzy (0)