Podaj przykład funkcji wymiernej, która dla argumentu równego 1 przyjmuje wartość 5, a jej dziedziną jest zbiór:

\[D_f=\mathbb{R}\setminus \{0\}\]

Rozwiązanie

Szukana funkcja spełnia dwa warunki:

\[f(1)=5\]

oraz

\[D_f=\mathbb{R}\setminus \{0\}\]

Weźmy najprostszą funkcję wymierną postaci:

\[f(x)=\frac{a}{x},\,\,\textrm{gdzie}\,\,\,a\in\mathbb{R}\]

Dziedzinę takiej funkcji stanowi zbiór \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\), szukamy \(a\in\mathbb{R}\) takiego, że \(f(1)=5\):

\[f(1)=5\,\,\Leftrightarrow\,\, \frac{a}{1}=5\]

stąd:

\[a=5\]

Zatem przykładem funkcji wymiernej spełniającej warunki zadania jest funkcja:

\[f(x)=\frac{5}{x}\]

Na koniec wykres funkcji \(f(x)=\frac{5}{x}\):

Dziedzina jest zbiorem takich x, dla których istnieją wartości funkcji (są to wszystkie x, które można podstawić do wzoru funkcji).

Innymi słowy dziedzina jest zbiorem wszystkich argumentów funkcji.

Oczywiście zwracaj zawsze uwagę na działania niedozwolone w matematyce:

dzielenie przez 0, np.\[f(x)=\frac{g(x)}{h(x)},\,\,\textrm{wtedy}\,\,h(x)\neq 0\]
pierwiastkowanie (stopnia parzystego) liczb ujemnych, np.\[f(x)=\sqrt{g(x)},\,\,\textrm{wtedy}\,\,g(x)\ge 0\]
logarytmowanie liczb ujemnych, np.\[f(x)=\ln(g(x)),\,\,\textrm{wtedy}\,\,g(x)>0\]