Wyznacz przedział zbieżności szeregu

Szeregi potęgowe - zad. 2

Rozwiązanie

Wyznaczamy kolejno promień zbieżności szeregu, potem przedział zbieżności, na koniec sprawdzamy czy szereg jest zbieżny na końcach przedziału zbieżności:

Szeregi potęgowe - zad. 2a - rozwiązanie

Szeregi potęgowe - zad. 2b - rozwiązanie

Komentarzy (4)

- Odpowiedz
sebo! 7 lat temu
@kaskada9 W celu sprawdzenia zbieżności tego szeregu można próbować wyznaczyć postać jego wyrazów (jest to trudne i czasochłonne, ale możliwe). Postać szeregu jest następująca:\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{c_n}}{n}\]gdzie \(c_n=\left\lceil{\frac{1+\sqrt{1+8n}}{2}}\right\rceil\) (funkcja "sufit" \(\lceil n\rceil\), oznacza zaokrąglenie do najbliższej liczby całkowitej większej lub równej liczbie n). Teraz można spróbować użyć uogólnionego kryterium o szeregach naprzemiennych lub jednego z kryteriów zbieżności szeregów o wyrazach rzeczywistych (np. Dirichleta).
- Odpowiedz
kaskada9 7 lat temu
No właśnie za bardzo nie wiem jak to zrobić. Szczególnie kiedy ciąg \(a_n\) wartości dodatnie i ujemne w zależności jakie jest n
- Odpowiedz
sebo! 7 lat temu
@kaskada9 Proszę spróbować porównać sumy częściowe tego szeregu z sumami szeregu naprzemiennego:\[\frac{(-1)^{n-1}}{n}\]
- Odpowiedz
kaskada9 7 lat temu
czy mógłby mi ktoś pomóc przy badaniu zbieżności szeregów w zadaniach jak to poniżej? kompletnie nie wiem jak do tego podejść. Czy potrzebne są jakieś kryteria?
Zadanie. Ciąg an określamy następująco: \(a_n =\frac{1}{n}\) lub \(a_n =−\frac{1}{n}\) przy czym \(a_n\) są dodatnie dla n = 1, ujemne dla n = 2, 3, dodatnie dla n = 4, 5, 6 i ogólnie po każdym bloku k wyrazów dodatnich następuje blok k + 1 wyrazów ujemnych. Ustal, czy szereg sum(an) an jest zbieżny.

Z góry dziękuję za pomoc