Start 
Podaj wzór na granicę ciągu liczbowego
Rozwiązanie
Jest to granica ciągu, której w zasadzie trzeba nauczyć się na pamięć:
Na poniższym rysunku możesz zobaczyć zachowanie ciągu \(a_n=\sqrt[n]{2}\), czyli dla \(A=2\). Dla innych wartości \(A>1\) zachowanie ciągu \(\sqrt[n]{A}\) jest bardzo podobne. Wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\) ciąg \(a_n\) coraz bardziej zbliża się do liczby 1 (od góry):
Na drugim rysunku możesz zobaczyć zachowanie ciągu \(a_n=\sqrt[n]{\frac{1}{2}}\), czyli dla \(A=\frac{1}{2}\). Dla innych wartości \(0<A<1\) zachowanie ciągu \(\sqrt[n]{A}\) jest bardzo podobne. Wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\) ciąg \(a_n\) coraz bardziej zbliża się do liczby 1 (tym razem od dołu):
Wskazówki
Wyprowadzenie tej granicy może wyglądać następująco:
\[\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{A}=\lim\limits_{n\to \infty} e^{\ln(\sqrt[n]{A})}=\lim\limits_{n\to \infty} e^{\ln(A^{\frac{1}{n}})}=\lim\limits_{n\to \infty} e^{\frac{\ln(A)}{n}}=e^{\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln(A)}{n}}=e^0=1\]
ponieważ dla \(A>0\):
\[\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln(A)}{n}=0\]
Jak sobie radzić z granicami ciągów?
Jeżeli ciągi \(a_n\) i \(b_n\) są zbieżne do granic właściwych (skończonych liczb), to
\(\lim\limits_{n\to \infty}(a_n+b_n)=\lim\limits_{n\to \infty} a_n+\lim\limits_{n\to \infty} b_n\)
\(\lim\limits_{n\to \infty}(a_n-b_n)=\lim\limits_{n\to \infty} a_n-\lim\limits_{n\to \infty} b_n\)
\(\lim\limits_{n\to \infty}(c\cdot a_n)=c\cdot \lim\limits_{n\to \infty} a_n\), gdy \(c\in\mathbb{R}\)
\(\lim\limits_{n\to \infty}(a_n\cdot b_n)=\left(\lim\limits_{n\to \infty} a_n\right)\cdot \left(\lim\limits_{n\to \infty}b_n\right) \)
\(\lim\limits_{n\to \infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{\lim\limits_{n\to \infty} a_n}{\lim\limits_{n\to \infty} b_n}\), gdy \(\lim\limits_{n\to \infty} b_n\neq 0\)
\(\lim\limits_{n\to \infty}(a_n)^p=\left(\lim\limits_{n\to \infty} a_n\right)^p\),
gdy p jest liczbą całkowitą różną od zera
\(\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[k]{a_n}=\sqrt[k]{\lim\limits_{n\to \infty} a_n}\),
gdy k jest liczbą naturalną różną od 1
Jak radzić sobie z nieskończonościami w granicach?
Granica ciągu: liczba + "nieskończoność" = "nieskończoność"
\(g+\infty=\infty+g=\infty,\,\,gdy\,\,-\infty<g\le \infty\)
Granica ciągu: liczba razy "nieskończoność" = "nieskończoność"
\(g\cdot\infty=\infty\cdot g=\infty,\,\,gdy\,\,0<g\le \infty\)
Granica ciągu: liczba dzielona przez "nieskończoność" = 0
\(\frac{g}{\infty}=0,\,\,gdy\,\,-\infty<g<\infty\)
Granica ciągu: liczba dzielona przez 0 = "nieskończoność"
\(\frac{g}{0}=\infty,\,\,gdy\,\,0<g<\infty\)
Granica ciągu: liczba do potęgi "nieskończoność" = 0, gdy liczba jest dodatnia i mniejsza od 1
\(g^{\infty}=0,\,\,gdy\,\,0<g<1\)
Granica ciągu: liczba do potęgi "nieskończoność" = "nieskończoność", gdy liczba jest większa od 1
\(g^{\infty}=\infty,\,\,gdy\,\,1<g\le \infty\)
Granica ciągu: "nieskończoność" do potęgi liczba = 0, gdy liczba jest ujemna
\(\infty^{g}=0,\,\,gdy\,\,-\infty<g< 0\)
Granica ciągu: "nieskończoność" do potęgi liczba = "nieskończoność", gdy liczba jest dodatnia
\(\infty^{g}=\infty,\,\,gdy\,\,0<g\le \infty\)
Komentarzy (0)