Oblicz całkę niewłaściwą

Całki niewłaściwe - zad. 1

Rozwiązanie

Z pozoru, nasza całka wydaje się być zwykłą całką oznaczoną, jednak, gdy przyjrzymy się bliżej, to zauważymy, że funkcja podcałkowa jest nieograniczona w zerze (ma tam asymptotę pionową). Poniżej możesz zobaczyć wykres funkcji \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\) na przedziale [0,3] (zwróć uwagę, że w zerze funkcja "ucieka" do nieskończoności)Wykres funkcji 1 przez pierwiastek z x

Mamy więc do czynienia z całką niewłaściwą II-go rodzaju. Sposób obliczania tego typu całek jest następujący:

Całki niewłaściwe - zad. 1 - rozwiązanie

 Wskazówki

  1. Funkcja \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\) jest nieograniczona w punkcie x=0 (ma asymptotę), dlatego zamieniamy dolną granicę całkowania (punkt 0) na liczbę \(\epsilon\), która jest pewną liczbą dodatnią. Dodatkowo przed całką dopisujemy limes.
  2. Zapominamy na chwilę o granicy (limes) i  liczymy całkę oznaczoną \(\int_\epsilon^3 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx\) dokładnie tak samo jak liczy się całki oznaczone.
  3. Na koniec liczymy granicę przy \(\epsilon\rightarrow 0\), czyli
    \(\lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}[2\sqrt{x}]\begin{array}{l}3\\\epsilon\end{array}=\lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}(2\sqrt{3}-2\sqrt{\epsilon})=2\sqrt{3}\)

 

Komentarzy (0)