Start 
Treść zadania
W 100 losowo wybranych gospodarstwach domowych średnia miesięczna opłata za energię wyniosła 68 zł, a odchylenie standardowe 14 zł. Zweryfikuj hipotezę, że średnie miesięczne zużycie energii w całej populacji wynosi 75 zł, przyjmując poziom istotności równy 0,05.
Rozwiązanie
Zacznijmy od wypisania danych:
- \(n=100>30\)
- średnia empiryczna \(\overline{x} = 68\)
- próbkowe odchylenie standardowe \(s=14\)
- \(\mu = 75\)
- poziom istotności \(\alpha = 0,05\) (poziom ufności \(1-\alpha=0,95\))
Zweryfikujemy hipotezę zerową (podstawową) postaci:
\[H_0:\, \mu=75\]
Niech hipoteza alternatywna będzie postaci:
\[H_1:\, \mu<75\]
Obliczamy wartość statystyki testowej (dla rozkładu normalnego):
\[z=\frac{\overline{x}-\mu}{s} \sqrt{n}=\frac{68-75}{14} \sqrt{100}=-5\]
Odczytujemy wartość krytyczną z tablic rozkładu normalnego (\(\alpha=0,05\)):
\[z_{0,95}= -1,64\]
Wartość statystyki testowej jest mniejsza niż wartość krytyczna:
\[z=-5<-1,64=z_{0,95}\]
więc leży ona w zbiorze krytycznym (odrzucenia).
Należy więc odrzucić hipotezę zerową \(H_0\) na rzecz hipotezy alternatywnej \(H_1\). Oznacza to, że przeciętne wydatki na energię w całej populacji są mniejsze niż 75 zł.
Wskazówki
Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej.
Prawdziwość tego przypuszczenia jest oceniana na podstawie wyników próby losowej.
Każdy test statystyczny rozpoczynamy od sformułowania hipotezy zerowej \(H_0\), czyli hipotezy podlegającej sprawdzeniu.
Następnie formułujemy hipotezę alternatywną \(H_1\), którą jesteśmy w stanie przyjąć, gdy odrzucimy hipotezę zerową .
Musimy też określić poziom istotności \(\alpha\), czyli maksymalne ryzyko błędu (pomyłki) jakie jesteśmy w stanie zaakceptować np. \(\alpha=0,05\).
Następnie wybieramy odpowiednią statystykę testową (wybór statystyki uzależniony jest od informacji jaką posiadamy o próbie oraz od postaci hipotezy zerowej i alternatywnej).
Zakładamy, że rozkład cechy w zbiorowości generalnej jest rozkładem normalnym \(N(\mu,\sigma)\). Wybór sprawdzianu hipotezy zależy od liczebności próby n oraz od tego, czy parametr \(\sigma\) (odchylenie standardowe) w zbiorowości generalnej jest znany. Jeśli:
\(\sigma\) jest znane i \(n\le 30\) lub
\(\sigma\) jest znane i \(n> 30\) lub
\(\sigma\) jest mieznane i \(n> 30\) (wtedy \(\sigma\approx s\))
wówczas sprawqdzianem hipotezy \[H_0:\, \mu=\mu_0\] jest statystyka:
\[z=\frac{\overline{x}-\mu}{\sigma} \sqrt{n}\]
o rozkładzie \(N(0,1)\).
Jeśli natomiast:
\(\sigma\) jest mieznane i \(n\le 30\)
to sprawdzianem hipotezy jest:
\[t=\frac{\overline{x}-\mu}{s} \sqrt{n-1}\]
lub
\[t=\frac{\overline{x}-\mu}{s} \sqrt{n}\]
o rozkładzie t-Studenta z n-1 stopniami swobody.
Kolejny krok to obliczenie wartości tej funkcji (statystyki) dla badanej próby.
Na koniec sprawdzamy, czy otrzymana wartość leży w zbiorze kryty6cznym (odrzucenia), czy też nie i na tej podstawie podejmujemy decyzję czy odrzucić hipotezę zerową i przyjąć alternatywną, czy też nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
Dokładniej, jeżeli wartość statystyki testowej leży w zbiorze krytycznym (odrzucenia), to należy odrzucić hipotezę \(H_0\) i przyjąć \(H_1\).
Jeżeli wartość statystyki testowej leży poza zbiorem krytycznym (odrzucenia) tj. w zbiorze przyjęć hipotezy \(H_0\), to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy \(H_0\).
UWAGA: Nigdy nie mówimy, że przyjmujemy hipotezę \(H_0\). Mówi się, że "nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy \(H_0\)".
Komentarzy (2)