W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Zmierzono zużycie paliwa (l/100 km) w 20 autach pewnej marki otrzymując następujące wyniki:

4.7, 5.1, 4.3, 5.2, 5.0, 5.7, 4.6, 4.9, 5.3, 4.7, 4.9, 5.4, 4.7, 4.8, 4.9, 5.1, 5.0, 4.6, 4.9, 4.6

Zakładając, że rozkład zużycia benzyny jest normalny, określ przedział ufności dla średniego zużycia paliwa na poziomie ufności 0.95.

Rozwiązanie

Zacznijmy od wypisania danych:

  • \(n=20\)
  • odchylenie standardowe \(\sigma\) jest nieznane
  • poziom ufności \(1-\alpha = 095\)

Zatem przedział ufności dla średniej jest postaci (zobacz wskazówki do zadania):

\[\left(\overline{x}-t_{n-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)\cdot \frac{s}{\sqrt{n}},\, \overline{x}+t_{n-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)\cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\right)\]

gdzie:

  • \(\overline{x}\) to średnia empiryczna,
  • \(s\) to odchylenie standardowe z próby,
  • \(t_{n-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)\) odczytujemy z tablic t-Studenta z \(n-1\) stopniami swobody (jest to dystrybuanta rozkładu t-Studenta).

Liczymy średnią empiryczną i próbkowe odchylenie standardowe:

(średnia arytmetyczna)

\[\overline{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n x_k=\frac{1}{20}(4.7+5.1+4.3+5.2+5.0+5.7+4.6+\]

\[+4.9+5.3+4.7+4.9+5.4+4.7+4.8+4.9+5.1+5.0+4.6+4.9+4.6)=\color{red}{4.92}\]

(odchylenie standardowe)

\[s=\sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n (x_k-\overline{x})^2}=\sqrt{\frac{1}{20}((4.7-4.92)^2+(5.1-4.92)^2+(4.3-4.92)^2+}\]

\[\overline{+(5.2-4.92)^2+(5.0-4.92)^2+(5.7-4.92)^2+(4.6-4.92)^2+(4.9-4.92)^2+}\]

\[\overline{+(5.3-4.92)^2+(4.7-4.92)^2+(4.9-4.92)^2+(5.4-4.92)^2+(4.7-4.92)^2+}\]

\[\overline{+(4.8-4.92)^2+(4.9-4.92)^2+(5.1-4.92)^2+(5.0-4.92)^2+}\]

\[\overline{+(4.6-4.92)^2+(4.9-4.92)^2+(4.6-4.92)^2)}=\sqrt{0.0996}=\color{red}{0.3156}\]

Wyniki możemy sprawdzić w kalkulatorze statystycznym.

Odczytujemy z tablic wartość dystrybuanty rozkładu t-Studenta z \(n-1\) stopniami swobody:

\[t_{n-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)= t_{19}\left(0.975\right)=2.093\]

Ostatecznie przedział ufności jest postaci:

\[\left(4.92-2.093\cdot \frac{0.3156}{\sqrt{20}}, 4.92+2.093\cdot \frac{0.3156}{\sqrt{20}}\right)=(4.772, 5.068)\]

Odp.: Przedział ufności dla średniego zużycia paliwa na poziomie ufności \(0.95\) jest postaci \(\big(4.772,5.068\big)\)

Wskazówki

Podstawowe pojęcia statystyki

Populacja generalna (zbiorowość statystyczna) to zbiór elementów z określoną (badaną) cechą X (np. populacja mężczyzn w wieku 22 lat).

Próba losowa to określona część populacji, która jest możliwa do bezpośredniej obserwacji ze względu na cechę X:

\[(x_1, x_2, ..., x_n)\]

Statystyka to zmienna losowa będąca funkcją próby losowej \(x_1,x_2, ..., x_n\):

\[\mathbb{S} = f(x_1,x_2,..., x_n)\]

Średnia empiryczna (arytmetyczna):

\[\overline{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n x_k=\frac{1}{n}\big(x_1+x_2+...+x_{n-1}+x_n\big)\]

Próbkowe odchylenie standardowe:

\[s=\sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n (x_k-\overline{x})^2}=\sqrt{\frac{1}{n}\bigg((x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+...+(x_{n-1}-\overline{x})^2+(x_n-\overline{x})^2\bigg)}\]

gdzie \(\overline{x}\) to średnia empiryczna.

Przedziały ufności dla średniej z populacji o rozkładzie normalnym

Znane odchylenie standardowe \(\sigma\)

\[\left(\overline{x}-u_{\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\, \overline{x}+u_{\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\]

gdzie \(u_{\frac{\alpha}{2}}\) jest wartością dystrybuanty rozkładu normalnego \(N(0,1)\) w punkcie \(\frac{\alpha}{2}\) (odczytujemy z tablic).

Nieznane odchylenie standardowe \(\sigma\) i mała próba \(n<30\)

\[\left(\overline{x}-t_{n-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)\cdot \frac{s}{\sqrt{n}},\, \overline{x}+t_{n-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)\cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\right)\]

gdzie \(t_{n-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)\)  jest wartością dystrybuanty rozkładu t-Studenta o \(n-1\) stopniach swobody w punkcie \(1-\frac{\alpha}{2}\) (odczytujemy z tablic).

Nieznane odchylenie standardowe \(\sigma\) i duża próba \(n\ge 30\)

\[\left(\overline{x}-u_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}}, \,\overline{x}+u_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\right)\]

gdzie \(u_{1-\frac{\alpha}{2}}\)  jest wartością dystrybuanty rozkładu normalnego \(N(0,1)\) w punkcie \(1-\frac{\alpha}{2}\) (odczytujemy z tablic).

 

Komentarzy (0)