Start 
Zmierzono zużycie paliwa (l/100 km) w 20 autach pewnej marki otrzymując następujące wyniki:
4.7, 5.1, 4.3, 5.2, 5.0, 5.7, 4.6, 4.9, 5.3, 4.7, 4.9, 5.4, 4.7, 4.8, 4.9, 5.1, 5.0, 4.6, 4.9, 4.6
Zakładając, że rozkład zużycia benzyny jest normalny, określ przedział ufności dla średniego zużycia paliwa na poziomie ufności 0.95.
Rozwiązanie
Zacznijmy od wypisania danych:
- \(n=20\)
- odchylenie standardowe \(\sigma\) jest nieznane
- poziom ufności \(1-\alpha = 095\)
Zatem przedział ufności dla średniej jest postaci (zobacz wskazówki do zadania):
\[\left(\overline{x}-t_{n-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)\cdot \frac{s}{\sqrt{n}},\, \overline{x}+t_{n-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)\cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\right)\]
gdzie:
- \(\overline{x}\) to średnia empiryczna,
- \(s\) to odchylenie standardowe z próby,
- \(t_{n-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)\) odczytujemy z tablic t-Studenta z \(n-1\) stopniami swobody (jest to dystrybuanta rozkładu t-Studenta).
Liczymy średnią empiryczną i próbkowe odchylenie standardowe:
(średnia arytmetyczna)
\[\overline{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n x_k=\frac{1}{20}(4.7+5.1+4.3+5.2+5.0+5.7+4.6+\]
\[+4.9+5.3+4.7+4.9+5.4+4.7+4.8+4.9+5.1+5.0+4.6+4.9+4.6)=\color{red}{4.92}\]
(odchylenie standardowe)
\[s=\sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n (x_k-\overline{x})^2}=\sqrt{\frac{1}{20}((4.7-4.92)^2+(5.1-4.92)^2+(4.3-4.92)^2+}\]
\[\overline{+(5.2-4.92)^2+(5.0-4.92)^2+(5.7-4.92)^2+(4.6-4.92)^2+(4.9-4.92)^2+}\]
\[\overline{+(5.3-4.92)^2+(4.7-4.92)^2+(4.9-4.92)^2+(5.4-4.92)^2+(4.7-4.92)^2+}\]
\[\overline{+(4.8-4.92)^2+(4.9-4.92)^2+(5.1-4.92)^2+(5.0-4.92)^2+}\]
\[\overline{+(4.6-4.92)^2+(4.9-4.92)^2+(4.6-4.92)^2)}=\sqrt{0.0996}=\color{red}{0.3156}\]
Wyniki możemy sprawdzić w kalkulatorze statystycznym.
Odczytujemy z tablic wartość dystrybuanty rozkładu t-Studenta z \(n-1\) stopniami swobody:
\[t_{n-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)= t_{19}\left(0.975\right)=2.093\]
Ostatecznie przedział ufności jest postaci:
\[\left(4.92-2.093\cdot \frac{0.3156}{\sqrt{20}}, 4.92+2.093\cdot \frac{0.3156}{\sqrt{20}}\right)=(4.772, 5.068)\]
Odp.: Przedział ufności dla średniego zużycia paliwa na poziomie ufności \(0.95\) jest postaci \(\big(4.772,5.068\big)\)
Wskazówki
Podstawowe pojęcia statystyki
Populacja generalna (zbiorowość statystyczna) to zbiór elementów z określoną (badaną) cechą X (np. populacja mężczyzn w wieku 22 lat).
Próba losowa to określona część populacji, która jest możliwa do bezpośredniej obserwacji ze względu na cechę X:
\[(x_1, x_2, ..., x_n)\]
Statystyka to zmienna losowa będąca funkcją próby losowej \(x_1,x_2, ..., x_n\):
\[\mathbb{S} = f(x_1,x_2,..., x_n)\]
Średnia empiryczna (arytmetyczna):
\[\overline{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n x_k=\frac{1}{n}\big(x_1+x_2+...+x_{n-1}+x_n\big)\]
Próbkowe odchylenie standardowe:
\[s=\sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n (x_k-\overline{x})^2}=\sqrt{\frac{1}{n}\bigg((x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+...+(x_{n-1}-\overline{x})^2+(x_n-\overline{x})^2\bigg)}\]
gdzie \(\overline{x}\) to średnia empiryczna.
Przedziały ufności dla średniej z populacji o rozkładzie normalnym
Znane odchylenie standardowe \(\sigma\)
\[\left(\overline{x}-u_{\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\, \overline{x}+u_{\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\]
gdzie \(u_{\frac{\alpha}{2}}\) jest wartością dystrybuanty rozkładu normalnego \(N(0,1)\) w punkcie \(\frac{\alpha}{2}\) (odczytujemy z tablic).
Nieznane odchylenie standardowe \(\sigma\) i mała próba \(n<30\)
\[\left(\overline{x}-t_{n-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)\cdot \frac{s}{\sqrt{n}},\, \overline{x}+t_{n-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)\cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\right)\]
gdzie \(t_{n-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)\) jest wartością dystrybuanty rozkładu t-Studenta o \(n-1\) stopniach swobody w punkcie \(1-\frac{\alpha}{2}\) (odczytujemy z tablic).
Nieznane odchylenie standardowe \(\sigma\) i duża próba \(n\ge 30\)
\[\left(\overline{x}-u_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}}, \,\overline{x}+u_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\right)\]
gdzie \(u_{1-\frac{\alpha}{2}}\) jest wartością dystrybuanty rozkładu normalnego \(N(0,1)\) w punkcie \(1-\frac{\alpha}{2}\) (odczytujemy z tablic).
Komentarzy (0)