Start 
Treść zadania
Rzucasz kostką do gry:
- gdy wypadnie liczba parzysta dostajesz 100 zł,
- gdy wypadnie 3 lub 5 nic nie dostajesz, ale też nic nie płacisz,
- gdy wypadnie liczba 1 płacisz 200 zł
Niech zmienna losowa X reprezentuje Twoją wygraną. Wyznacz:
(a) rozkład prawdopodobieństwa
(b) dystrybuantę rozkładu zmiennej X
(c) \(P(X>0)\)
(d) wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej X
Rozwiązanie
Zmienna losowa X ma rozkład dyskretny, ponieważ może ona przyjmować tylko trzy wartości:
- -200 - płacisz 200 zł,
- 0 - nic nie wygrywasz i nic nie płacisz,
- 100 - wygrywasz 100 zł
(a) Aby podać rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej, musimy obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia każdego z trzech powyższych zdarzeń (prawdopodobiństwa przyjęcia przez zmienną losową \(X\) wartości -200, 0 i 100).
Liczymy prawdopodobieństwo, że zmienna losowa \(X\) przyjmie wartość -200.
Z treści zadania wiemy, że jest to prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby 1 na kostce do gry, dlatego:
\[P(X=-200)=\frac{1}{6}\]
ponieważ prawodpodobieństwo wyrzucenia każdego z 6 oczek na kostce wynosi \(\frac{1}{6}\).
Liczymy prawdopodobieństwo, że zmienna losowa \(X\) przyjmie wartość 0.
Z treści zadania wiemy, że jest to prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby 3 lub 5 na kostce do gry, dlatego:
\[P(X=0)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\]
ponieważ rzuty kostką są zdarzeniami niezależnymi, więc prawodpodobieństwo sumy zdarzeń (wyrzucenie 3 lub 5) jest równe sumie prawodobieństw tych zdarzeń (prawdopodobieństwo wyrzucenia 3 plus prawodpodobieństwo wyrzucenia 5).
Liczymy prawdopodobieństwo, że zmienna losowa \(X\) przyjmie wartość 100.
Z treści zadania wiemy, że jest to prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby parzystej na kostce do gry (czyli 2 lub 4 lub 6), dlatego:
\[P(X=100)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]
ponieważ rzuty kostką są zdarzeniami niezależnymi, więc prawodpodobieństwo sumy zdarzeń (wyrzucenie 2 lub 4 lub 6) jest równe sumie prawodobieństw tych zdarzeń (prawdopodobieństwo wyrzucenia 2 plus prawdopodobieństwo wyrzucenia 4 plus prawodpodobieństwo wyrzucenia 6).
Ostatecznie rozkład zmiennej losowej \(X\) możemy zapisać w tabelce:
| Wartośći \(x_i\) | -200 | 0 | 100 |
| Prawd. \(p_i\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{2}\) |
(b) Dystrybuanta zmiennej losowej X, to funkcja dana wzorem:
\[F(x)=P(X<x),\,\,\textrm{dla}\,\,x\in\mathbb{R}\]
W przypadku zmiennej losowej dyskretnej musimy skupić się na wyznaczeniu prawdopodobieństw dla kolejnych przedziałów ograniczonych przez wartości zmiennej (tj. x=-200,0,100).
Dystrybuanta jest funkcją lewostronnie ciągłą, więc przedziały domykamy z prawej strony, dlatego interesują nas następujące przedziały:
\[x\in(-\infty,-200]\]
\[x\in(-200,0]\]
\[x\in(0,100]\]
\[x\in(100,+\infty)\]
Dla \(x\in(-\infty,-200]\) mamy:
\[F(x)=P(X<x)=P(X<-200)=0\]
Dla \(x\in(-200,0]\) mamy:
\[F(x)=P(X<x)=P(X=-200)=\frac{1}{6}\]
Dla \(x\in(0,100]\) mamy:
\[F(x)=P(X<x)=P(X=-200)+P(X=0)=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]
Dla \(x\in(100,+\infty)\) mamy:
\[F(x)=P(X<x)=P(X=-200)+P(X=0)+P(X=100)=1\]
Zatem dystrybuanta dana jest wzorem:
\[F(x)=\left\{\begin{array}{l}{0\quad \textrm{dla}\quad x<-200\\\frac{1}{6}\quad \textrm{dla}\,\, -200<x\leq 0\\\frac{1}{2}\quad \textrm{dla}\quad 0<x\leq 100\\1\quad \textrm{dla}\quad x>100}\end{array}\right.\]
lub w formie tabelki:
| \(x\) | \((-\infty,-200]\) | \((-200,0]\) | \((0,100]\) | \((100,+\infty)\) |
| \(F(x)\) | 0 | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{2}\) | 1 |
(c) Prawdopodobieństwo \(P(X>0)\) możemy obliczyć na dwa sposoby:
Możemy zauważyć, że jedyną wartością dodatnią jaką przyjmuje zmienna losowa jest 100, dlatego:
\[P(X>0)=P(X=100)=\frac{1}{2}\]
Możemy też skorzystać z własności prawdopodobieństwa oraz dystrybuanty:
\[P(X>0)=1-P(X\geq 0)=1-(P(X<0)+P(X=0))=1-\left(F(0)+\frac{1}{3}\right)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\]
Powyżej skorzystaliśmy z faktów, że:
\[P(A)=1-P(\Omega\setminus A)\]
stąd:
\[P(X<0)=1-P(X\ge 0)\]
Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń niezależnych jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:
\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)\]
stąd
\[P(X\geq 0)=P(\{X<0\}\cup \{X=0\})=P(X<0)+P(X=0)\]
(d) Wartość oczekiwaną liczymy ze wzoru:
\[EX=\sum\limits_{i=1}^n p_i\cdot x_i=p_1x_1+p_2x_2+...+p_nx_n\]
U nas \(n=3\), \(x_i\) to wartości zmiennej losowej X a \(p_i\) to prawdopodobieństwa tych zdarzeń. Odczytujemy je z tabeli rozkładu prawdopodobieństwa i mamy:
\[EX=p_1x_1+p_2x_2+p_3x_3=\frac{1}{6}\cdot (-200)+\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 100=\frac{50}{3}=16\frac{2}{3}\]
Wariancję zmiennej losowej liczymy ze wzoru:
\[VarX=E(X-EX)^2=\sum\limits_{i=1}^n p_i\cdot (x_i-EX)^2=EX^2-(EX)^2\]
Można również zastosować wzór:
\[VarX=EX^2-(EX)^2=\sum\limits_{i=1}^n p_i\cdot (x_i)^2-(EX)^2\]
Liczymy:
\[EX^2=p_1(x_1)^2+p_2(x_2)^2+p_3(x_3)^2=\frac{1}{6}\cdot (-200)^2+\frac{1}{3}\cdot 0^2+\frac{1}{2}\cdot 100^2=11666\frac{2}{3}\]
\[(EX)^2=\left(16\frac{2}{3}\right)^2\approx 277,78\]
Zatem wariancja wynosi:
\[Var X\approx 11388,89\]
Wskazówki
Rozkład zmiennej losowej dyskretnej (skokowej)
Jeżeli zmienna losowa \(X\) przyjmuje wartości dyskretne ze zbioru \(\{x_1,x_2,...,x_n\}\), to rozkładem tej zmiennej losowej nazywamy funkcję przyporządkowującą realizacjom zmiennej losowej odpowiadające im prawdopodobieństwa ich wystąpienia, czyli:
\[P(X=x_i)=p_i,\,\,\,\,i=1,2,...,n\]
gdzie:
\[p_i\ge 0,\,\,\,\,p_1+p_2+...+p_n=1\]
- \(x_i\) - elementy zbioru \(\{x_1,x_2,...,x_n\}\), czyli wartości zmiennej losowej \(X\)
- \(p_i\) - prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową \(X\) wartości \(x_i\)
Bardzo często rozkład prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej zapisuemy w tabelce - w pierwszym wierszu wypisujemy wszystkie wartości zmiennej losowej, w drugim wierszu wypisujemy prawdopodobieństwa występowania kolejnych wartości.
Dystrybuanta zmiennej losowej X
Jest to funkcja zdefiniowana następująco:
\[F(x)=P(X<x),\,\,\textrm{dla}\,\,x\in\mathbb{R}\]
Dystrybuantę można zapisać w formie funkcji z klamrą lub tabeli. Wartości dystrybuanty zawsze zaczynają się od zera, a kończą w jedynce, ponieważ prawdopodobieństwo każdego zdarzenia należy do przedziału \([0,1]\).
Dystrybuanta spełnia warunki:
- jest lewostronnie ciągła, tzn. \(\lim\limits_{x\to x^{-}_0}F(x)=F(x_0)\)
- jest niemalejąca, tzn. \(F(x_1)\leq F(x_2)\) dla każdej pary \(x_1,x_2\) takiej, że \(x_1\leq x_2\)
- \(\lim\limits_{x\to -\infty}F(x)=0,\,\,\lim\limits_{x\to +\infty}F(x)=1\)
Wartość oczekiwana dyskretnej zmiennej losowej
Jeżeli \(X\) jest dyskretną zmienną losową o rozkładzie dyskretnym (tj. przyjmuje wartości \(x_1,x_2,...,x_n\) z prawdopodobieństwami \(p_1,p_2,...,p_n\)), to jej wartość oczekiwaną liczymy ze wzoru:
\[EX=x_1P(X=x_1)+x_2P(X=x_2)+...+x_nP(X=x_n)=\]
\[=x_1p_1+x_2p_2+...+x_np_n=\sum\limits_{k=1}^n x_k p_k\]
Wariancja dyskretnej zmiennej losowej
Wariancja zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym dana jest wzorem:
\[VarX=E(X-EX)^2=EX^2-(EX)^2=\]
\[=x^2_1P(X=x_1)+x^2_2P(X=x_2)+...+x^2_nP(X=x_n)-(EX)^2=\]
\[=x^2_1p_1+x^2_2p_2+...+x^2_np_n-(EX)^2=\sum\limits_{k=1}^n x^2_kp_k-\left(\sum\limits_{k=1}^n x_k p_k\right)^2\]
Stosowane jest również oznaczenie \(D^2X\):
\[D^2 X=VarX\]
UWAGA: \(EX^2=E(X^2)\) to oznaczenie wartości oczekiwanej zmiennej losowej podniesionej do kwadratu, natomiast \((EX)^2\) oznacza wartość oczekiwaną podniesioną do kwadratu (najpierw liczymy wartość oczekiwaną i potem podnosimy wynik do kwadratu).
Komentarzy (2)