W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Rzucasz kostką do gry:

  • gdy wypadnie liczba parzysta dostajesz 100 zł,
  • gdy wypadnie 3 lub 5 nic nie dostajesz, ale też nic nie płacisz,
  • gdy wypadnie liczba 1 płacisz 200 zł

Podaj rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej, która reprezentuje Twoją wygraną.

Rozwiązanie

Oznaczmy naszą zmienną losową symbolem \(X\).

Jest to zmienna losowa o rozkładzie dyskretnym, ponieważ może ona przyjmować tylko trzy wartości:

  • -200 - płacisz 200 zł,
  • 0  -nic nie wygrywasz i nic nie płacisz,
  • 100 - wygrywasz 100 zł

Aby podać rozkład tej zmiennej, musimy obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia każdego z trzech powyższych zdarzeń (prawdopodobiństwa przyjęcia przez zmienną losową \(X\) wartości -200, 0 i 100).

Liczymy prawdopodobieństwo, że zmienna losowa \(X\) przyjmie wartość -200.

Z treści zadania wiemy, że jest to prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby 1 na kostce do gry, dlatego:

\[P(X=-200)=\frac{1}{6}\]

Liczymy prawdopodobieństwo, że zmienna losowa \(X\) przyjmie wartość 0.

Z treści zadania wiemy, że jest to prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby 3 lub 5 na kostce do gry, dlatego:

\[P(X=0)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\]

Liczymy prawdopodobieństwo, że zmienna losowa \(X\) przyjmie wartość 100.

Z treści zadania wiemy, że jest to prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby parzystej na kostce do gry, dlatego:

\[P(X=100)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]

Ostatecznie rozkład zmiennej losowej \(X\) możemy zapisać w tabelce:

X
 -200 
0
 100
Prawd.
 \(\frac{1}{6}\)

 \(\frac{1}{3}\)

 \(\frac{1}{2}\)

Wskazówki

 Rozkład zmiennej losowej dyskretnej (skokowej)

 Jeżeli zmienna losowa \(X\) przyjmuje wartości dyskretne ze zbioru \(\{x_1,x_2,...,x_n\}\), to rozkładem tej zmiennej losowej nazywamy funkcję przyporządkowującą realizacjom zmiennej losowej odpowiadające im prawdopodobieństwa ich wystąpienia, czyli:

\[P(X=x_i)=p_i,\,\,\,\,i=1,2,...,n\]

gdzie:

\[p_i\ge 0,\,\,\,\,p_1+p_2+...+p_n=1\]

  • \(x_i\) - elementy zbioru \(\{x_1,x_2,...,x_n\}\), czyli wartości zmiennej losowej \(X\)
  • \(p_i\) - prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową \(X\) wartości \(x_i\)

Komentarzy (0)