Start 
Zbadaj monotoniczność i wyznacz ekstrema funkcji
Rozwiązanie
Wskazówki
W tego typu zadaniach zawsze zaczynamy od wyznaczenia dziedziny funkcji.
Monotoniczność funkcji a pochodna
Jeżeli
- \(f'(x)>0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest rosnąca dla \(x\in(a,b)\)
- \(f'(x)<0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest malejąca dla \(x\in(a,b)\)
- \(f'(x)\ge 0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest niemalejąca dla \(x\in(a,b)\)
- \(f'(x)\le 0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest nierosnąca dla \(x\in(a,b)\)
- \(f'(x)=0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest stała dla \(x\in(a,b)\)
Ekstrema lokalne a pochodna funkcji
Funkcja ciągła i różniczkowalna (mająca pochodną) może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, które należą do dziedziny i w których jej pochodna jest równa zero (lub nie istnieje), czyli szukamy takich punktów \(x_0\), że
\(f'(x_0)=0\).
Jeżeli istnieje \(\delta>0\) taka, że
- \(f'(x)>0\), dla \(x\in(x_0-\delta,x_0)\) i \(f'(x)<0\), dla \(x\in(x_0,x_0+\delta)\), to funkcja posiada maksimum lokalne (właściwe) w punkcie \(x_0\);
- \(f'(x)<0\), dla \(x\in(x_0-\delta,x_0)\) i \(f'(x)<0\), dla \(x\in(x_0,x_0+\delta)\), to funkcja posiada minimum lokalne (właściwe) w punkcie \(x_0\).
Tłumaczenie na "ludzki" język:
Jeżeli funkcja jest rosnąca na lewo od punktu \(x_0\) i malejąca na prawo od \(x_0\), to w punkcie \(x_0\) mamy maksimum lokalne.
Jeżeli funkcja jest malejąca na lewo od punktu \(x_0\) i rosnąca na prawo od \(x_0\), to w punkcie \(x_0\) mamy minimum lokalne.
Funkcja może być rosnąca lub majejąca na lewo lub na prawo od punktu \(x_0\) nawet na małym odcinku. Dlatego właśnie ekstremum ma nazwę lokalne.
Ekstrema lokalne a druga pochodna funkcji
Jeżeli funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna, druga pochodna funkcji jest ciągła oraz
\(f'(x_0)=0,\,\,\,f''(x_0)\neq 0\),
to funkcja f(x) posiada ekstremum lokalne w punkcie \(x_0\).
Jeżeli
- \(f''(x_0)<0\), to funkcja ma maksimum lokalne w punkcie \(x_0\);
- \(f''(x_0)>0\), to funkcja ma minimum lokalne w punkcie \(x_0\).
Komentarzy (0)