Znajdź wszystkie liczby zespolone \(z\) spełniające równanie

\[z\cdot (1+i)=1\]

Rozwiązanie

Sposób I

Tego typu równania zespolone można rozwiązywać podobnie jak "zwykłe" równania w dziedzinie rzeczywistej.

Dzielimy obie strony równania przez liczbę \(1+i\):

\[z\cdot (1+i)=1\,/\,:(1+i)\]

\[z=\frac{1}{1+i}\]

\[z=\frac{1}{1+i}\cdot \frac{1-i}{1-i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\]

\[=\frac{1-i}{1^2-i^2}=\frac{1-i}{1+1}=\frac{1-i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\]

Odp. Rozwiązaniem naszego równania jest liczba zespolona \(z=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\).

Sposób II

Wykorzystamy postać algebraiczną liczby zespolonej:

\[z=x+yi,\,\,x,y\in\mathbb{R}\]

Nasze równanie przybiera postać (szukamy wartości x oraz y):

\[(x+yi)\cdot(1+i)=1\]

Wykonujemy mnożenie:

\[x+xi+yi+yi^2=1\]

\[x+(x+y)i-y=1\]

\[x-y+(x+y)i=1\]

Porównujemy części rzeczywiste i urojone liczb po obu stronach równości i stąd mamy układ równań:

\[\left\{\begin{array}{l}x-y=1\\x+y=0\end{array}\right.\]

Po dodaniu równań stronami (lub wykonaniu podstawienia) otrzymujemy rozwiązanie:

\[x=\frac{1}{2},\,\,y=-\frac{1}{2}\]

Odp. Rozwiązaniem naszego równania jest liczba zespolona \(z=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\).

Dzielenie liczb zespolonych wykonuje się podobnie jak przy usuwaniu niewymierności z mianownika w przypadku wyrażeń algebraicznych.

Bardzo przydaje się tu następujący wzór skróconego mnożenia \((x+yi)(x-yi)=x^2+y^2\).

Jeżeli \(z_1=x_1+y_1i\), \(z_2=x_2+y_2i\), to:

\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2 i}\cdot \frac{x_2-y_2 i}{x_2-y_2 i}=\frac{(x_1+y_1 i)\cdot (x_2-y_2 i)}{x^2_2+y^2_2}=\]

\[=\frac{x_1 x_2-x_1 y_2 i+y_1 x_2 i+y_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}=\frac{x_1 x_2+y_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}+\frac{y_1 x_2-x_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}i\]