Start 
Zapisz liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej
Rozwiązanie
Wskazówki
Postać trygonometryczna liczby zespolonej \(z\)
Każdą liczbę zespoloną można zapisać w tzw. postaci trygonometrycznej:
\[z=|z|(\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha),\]
gdzie \(|z|\) to moduł liczby zespolonej \(z\), \(\alpha=\arg(z)\) to argument główny liczby \(z\) (kąt należący do przedziału \([0,2\pi)\)).
Moduł liczby zespolonej \(z=x+yi\)
liczymy ze wzoru
\(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\)
Moduł liczby zespolonej \(z\) interpretuje się jako odległość tej liczby od początku układu współrzędnych.
Argument główny liczby zespolonej \(z\)
to kąt należący do przedziału \([0,2\pi)\) utworzony pomiędzy dodatnią częścią osi rzeczywistej (\(Re(z)\)), a promieniem wodzącym liczby \(z\).
Niech \(z=x+yi\) oraz \(\arg(z)=\alpha\), wtedy
\[\sin \alpha=\frac{y}{|z|}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\]
\[\cos \alpha=\frac{x}{|z|}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\]
Zwykle spotkasz się z założeniem: \(0\le \arg(z)<2\pi\), jednak możesz spotkać się też z warunkiem: \(-\pi< \arg(z)\le \pi\) (oba założenia są równoważne).
Metody wyznaczania argumentu głównego
- metoda graficzna - zaznaczamy liczbę zespoloną na płaszczyźnie zespolonej (liczbie \(z=x+yi\) odpowiada punkt o współrzędnych (x,y)) i "na oko" wyznaczamy kąt jaki jest utworzony między dodatnią częścią osi rzeczywistej, a promieniem wodzącym liczby zespolonej
- z układu równań (\(z=x+yi\) - dane, \(\alpha\) - szukane):
\[\sin \alpha=\frac{y}{|z|},\,\,\,\cos \alpha=\frac{x}{|z|}\] - z arcusa tangensa (tylko, gdy \(x>0,\,y>0\)):
\[\arg(z)=arctg\left(\frac{y}{x}\right),\,\,x>0,\,\,y>0\]
Zwykle stosuje się metodę graficzną (to podstawa!) plus jedna z metod 2 lub 3.
Szybki sposób wyznaczania argumentu:
1 określ, w której ćwiartce płaszczyzny zespolonej leży argument (aby to zrobić wystarczy zaznaczyć liczbę zespoloną na płaszczyźnie i zobaczyć w której ćwiartce się znajduje)
2. wyznacz wartość takiego kąta \(\alpha\) leżącego w ćwiartce wyznaczonej w pkt 1, którego sinus jest równy \(\frac{y}{|z|}\) lub cosinus jest równy \(\frac{x}{|z|}\). Wystarczy obliczyć tylko wartość sinusa lub tylko wartość cosinusa, nie trzeba liczyć obu.
Niech \(z=x+yi\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\).
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w I ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\ge 0,y\ge 0\)), to: \[0\le \arg(z)\le \frac{\pi}{2}\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w II ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\le 0,y\ge 0\)), to: \[\frac{\pi}{2}\le \arg(z)\le \pi\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w III ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\le 0,y\le 0\)), to: \[\pi\le \arg(z)\le \frac{3}{2}\pi\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w IV ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\ge 0,y\ge 0\)), to: \[\frac{3}{2}\pi\le \arg(z)\le 2\pi\]
Bardzo ważna w tego typu zadaniach jest znajomość funkcji trygonometrycznych, szczególnie wartości sinusa i cosinusa podstawowych kątów (warto nauczyć się na pamięć!):
Komentarzy (0)