Start 
Oblicz pierwiastki zespolone
Rozwiązanie
Do obliczania pierwiastków zespolonych najczęściej stosuje się dość skomplikowany wzór (zobacz wskazówki do zadania).
W przypadku pierwiastków zespolonych stopnia 2 z liczb ujemnych możemy zastosować prosty trik (bez użycia wzoru):
Wskazówki
Pierwiastkowanie liczb zespolonych
Pierwiastek zespolony stopnia \(n\in\mathbb{N}\) z liczby \(z\) to każda liczba \(w\) spełniająca równość:\[w^n=z\]
Zbiór wszystkich pierwiastków zespolonych liczby \(z\) oznaczamy przez \(\sqrt[n]{z}\), taki zbiór zawiera dokładnie n liczb, które oznaczamy przez \(z_0,z_1,\ldots,n-1\):\[\sqrt[n]{z}=\{z_0,z_1,\ldots,z_{n-1}\}\]
UWAGA: Pierwiastek zespolony i "zwykły" pierwiastek z liczby rzeczywistej, to dwa zupełnie inne pojęcia. Różnica jest taka, że pierwiastek zespolony to zbiór wszystkich rozwiązań równania \(w^n=z\) (tych rozwiązań jest dokładnie \(n\)), natomiast pierwiastek z liczby rzeczywistej to jedna liczba.
Każdy z pierwiastków n-tego stopnia liczby zespolonej \(z\) możemy obliczyć z ogólnego wzoru:\[z_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)\right),\,\,\,dla\,\,\,k=0,1,\ldots,n-1\]gdzie \(|z|\) to moduł, natomiast \(\alpha\) to argument liczby \(z\).
W szczególnych przypadkach możemy też użyć np. "chwytu" takiego jak w rozwiązaniu zadania, ale ta metoda sprawdza się najlepiej w przypadku pierwiastków kwadratowych (2-go stopnia) z liczb ujemnych.
Gdy znamy pierwiastek \(z_0\), to każdy następny pieriwastek da się obliczyć ze wzoru:
\[z_k=z_0\left(\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right),\,\,\,dla\,\,\,k=1,2,\ldots,n-1\]
Komentarzy (0)