Start 
Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic niewłaściwych oblicz
\[\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{\ln x}\]
Rozwiązanie
Skorzystamy z własności granic niewłaściwych:
\[\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{\ln x}=\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{1}{2^{\ln x}}\right)=\left[\frac{1}{2^{\infty}}\right]=0\]
Na rysunku poniżej możesz zobaczyć zachowanie funkcji \(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{\ln x}\), przy \(x\to \infty\)
(funkcja zbliża się do osi OX, ale nigdy jej nie przetnie, mimo to, granica jest równa 0):
Wskazówki
W rozwiązaniu korzystamy z faktu, że:
\[\lim\limits_{x\to \infty}\ln x=\infty\]
Twierdzenie o arytmetyce granic funkcji
Jeżeli istnieją granice \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) i \(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\), to:
Granica sumy funkcji jest równa sumie granic:
\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)+ g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)+ \lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]
Granica różnicy funkcji jest równa różnicy granic:
\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)- g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)-\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]
Granica iloczynu liczby (stałej) przez funkcję jest równa iloczynowi liczby przez granicę funkcji:
\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot \lim\limits_{x\to x_0}f(x)\]
Granica iloczynu funkcji jest równa iloczynowi granic:
\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)\cdot g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\cdot \lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]
Granica ilorazu funkcji jest równa ilorazowi granic:
\[\lim\limits_{x\to x_0}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)},\,\,gdy\,\,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\neq 0\]
Granica funkcji \(f(x)\) podniesionej do potęgi równej funkcji \(g(x)\) jest równa potędze granic tych funkcji:
\[\lim\limits_{x\to x_0}\left(\big(f(x)\big)^{g(x)}\right)=\left(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\right)^{\left(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\right)}\]
Jak liczyć granice niewłaściwe?
1. Granica z wyrażenia: liczba + "nieskończoność" = "nieskończoność"
\[g+\infty=\infty+g=\infty,\,\,\,gdy\,\,\,-\infty<g\le \infty\]
2. Granica z wyrażenia: liczba razy "nieskończoność" = "nieskończoność"
\[g\cdot\infty=\infty\cdot g=\infty,\,\,\,gdy\,\,\,0<g\le \infty\]
3. Granica z wyrażenia: liczba dzielona przez "nieskończoność" = 0
\[\frac{g}{\infty}=0,\,\,\,gdy\,\,\,-\infty<g<\infty\]
4. Granica z wyrażenia: liczba dzielona przez 0 = "nieskończoność"
\[\frac{g}{0^+}=\infty,\,\,\,gdy\,\,\,0<g<\infty\]
5. Granica z wyrażenia: liczba do potęgi "nieskończoność" = 0, gdy liczba jest dodatnia i mniejsza od 1
\[g^{\infty}=0,\,\,\,gdy\,\,\,0<g<1\]
6. Granica z wyrażenia: liczba do potęgi "nieskończoność" = "nieskończoność", gdy liczba jest większa od 1
\[g^{\infty}=\infty,\,\,\,gdy\,\,\,1<g\le \infty\]
7. Granica z wyrażenia: "nieskończoność" do potęgi liczba = 0, gdy liczba jest ujemna
\[\infty^{g}=0,\,\,\,gdy\,\,\,-\infty<g< 0\]
8. Granica z wyrażenia: "nieskończoność" do potęgi liczba = "nieskończoność", gdy liczba jest dodatnia
\[\infty^{g}=\infty,\,\,\,gdy\,\,\,0<g\le \infty\]
Komentarzy (0)