W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic niewłaściwych oblicz

\[\lim\limits_{x\to -\infty}5x^2\]

Rozwiązanie

Skorzystamy z własności granic niewłaściwych:

\[\lim\limits_{x\to -\infty}5x^2=5\cdot \lim\limits_{x\to -\infty}x^2=5\cdot \infty=+\infty\]

Na rysunku poniżej możesz zobaczyć zachowanie funkcji \(f(x)=5{x^2}\) przy \(x\to -\infty\)
(funkcja "ucieka" do nieskończoności):

 wykres funkcji 5x^2

Wskazówki

Twierdzenie o arytmetyce granic funkcji

Jeżeli istnieją granice \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) i \(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\), to:

Granica sumy funkcji jest równa sumie granic:

\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)+ g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)+ \lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]

Granica różnicy funkcji jest równa  różnicy granic:

\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)- g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)-\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]

Granica iloczynu liczby (stałej) przez funkcję jest równa iloczynowi liczby przez granicę funkcji:

\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot \lim\limits_{x\to x_0}f(x)\]

Granica iloczynu funkcji jest równa iloczynowi granic:

\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)\cdot g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\cdot \lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]

Granica ilorazu funkcji jest równa ilorazowi granic:

\[\lim\limits_{x\to x_0}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)},\,\,gdy\,\,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\neq 0\]

Granica funkcji \(f(x)\) podniesionej do potęgi równej funkcji \(g(x)\) jest równa potędze granic tych funkcji:

\[\lim\limits_{x\to x_0}\left(\big(f(x)\big)^{g(x)}\right)=\left(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\right)^{\left(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\right)}\]

Jak liczyć granice niewłaściwe?

1. Granica z wyrażenia: liczba + "nieskończoność" = "nieskończoność"

\[g+\infty=\infty+g=\infty,\,\,\,gdy\,\,\,-\infty<g\le \infty\]

2. Granica z wyrażenia: liczba razy "nieskończoność" = "nieskończoność"

\[g\cdot\infty=\infty\cdot g=\infty,\,\,\,gdy\,\,\,0<g\le \infty\]

3. Granica z wyrażenia: liczba dzielona przez "nieskończoność" = 0

\[\frac{g}{\infty}=0,\,\,\,gdy\,\,\,-\infty<g<\infty\]

4. Granica z wyrażenia: liczba dzielona przez 0 = "nieskończoność"

\[\frac{g}{0^+}=\infty,\,\,\,gdy\,\,\,0<g<\infty\]

5. Granica z wyrażenia: liczba do potęgi "nieskończoność" = 0, gdy liczba jest dodatnia i mniejsza od 1

\[g^{\infty}=0,\,\,\,gdy\,\,\,0<g<1\]

6. Granica z wyrażenia: liczba do potęgi "nieskończoność" = "nieskończoność", gdy liczba jest większa od 1

\[g^{\infty}=\infty,\,\,\,gdy\,\,\,1<g\le \infty\]

7. Granica z wyrażenia: "nieskończoność" do potęgi liczba = 0, gdy liczba jest ujemna

\[\infty^{g}=0,\,\,\,gdy\,\,\,-\infty<g< 0\]

8. Granica z wyrażenia: "nieskończoność" do potęgi liczba = "nieskończoność", gdy liczba jest dodatnia

\[\infty^{g}=\infty,\,\,\,gdy\,\,\,0<g\le \infty\]

 

Komentarzy (0)