Start 
Korzystając z kryterium Leibniza zbadaj zbieżność szeregu
\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\]
Rozwiązanie
Korzystając z kryterium Leibniza wykażemy, że szereg \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\) jest zbieżny.
Zauważmy, że ciąg liczbowy \(a_n=\frac{1}{n}\) jest malejący oraz
\[\lim\limits_{n\to \infty} a_n=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{n}=0\]
Zatem na mocy kryterium Leibniza nasz szereg jest zbieżny.
Wskazówki
Kryterium Leibniza
Jeżeli ciąg liczbowy \(a_n\) spełnia dwa warunki:
(a) \(\lim\limits_{n\to \infty} a_n=0\)
(b) ciąg \(a_n\) jest nierosnący (malejący)
to szereg liczbowy \(\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n a_n\) jest zbieżny.
Jak sprawdzić, czy szereg liczbowy jest zbieżny?
Oto metody, które możesz wykorzystać do sprawdzania zbieżności szeregów:
1. Sprawdzenie, czy spełniony jest warunek konieczny zbieżności.
Jeżeli:
\[\lim\limits_{n\to\infty} a_n\neq 0\]
to szereg liczbowy jest rozbieżny (zwróć uwagę, że warunek konieczny pozwala stwierdzić jedynie, czy szereg jest rozbieżny).
2. Obliczenie (gdy to możliwe) granicy ciągu sum częściowych szeregu \(S_n=\sum\limits_{k=0}^n a_k\).
Szereg jest zbieżny, gdy jego ciąg sum częściowych jest zbieżny, ponieważ:
\[\sum\limits_{k=0}^\infty a_k=\lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{k=0}^n a_k=\lim\limits_{n\to \infty}S_n\]
Gdy uda nam się obliczyć granicę ciągu sum częściowych, to będzie ona równa sumie szeregu.
Gdy granica będzie skończona (równa jakiejś liczbie), to szereg jest zbieżny, gdy granica nie istnieje lub jest równa \(-\infty\) lub \(+\infty\), to szereg jest rozbieżny.
3. Wykorzystanie jednego z kryteriów zbieżności szeregów:
(a) kryterium porównawcze
(b) kryterium ilorazowe
(c) kryterium Cauchy'ego
(d) kryterium d'Alemberta
(e) kryterium całkowe
(f) inne kryteria (m.in. Abela i Dirichleta)
Komentarzy (3)
Bardzo proszę o pomoc. Wiem z kalkulatora szeregów ze jest to szereg rozbieżny ale nie mam pojęcia jak do tego dojść