Znaleźć sumy częściowe szeregu liczbowego

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\]

Rozwiązanie

Wypiszmy dwa pierwsze wyrazy ciągu sum częściowych szeregu \(\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\):

\[S_1=\sum\limits_{n=1}^1 \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\]

\[S_2=\sum\limits_{n=1}^2 \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{1+2}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\]

Widać, że w każdej sumie redukują się wszystkie składniki oprócz pierwszego i ostatniego, zatem:

\[S_k=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\,+\,...\,+\,\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}=\frac{k}{k+1}\]

Zatem dla \(k=1,2,3,...\) mamy:

\[S_k=1-\frac{1}{k+1}=\frac{k}{k+1}\]

Ciągiem sum częściowych szeregu liczbowego \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) nazywamy ciąg liczbowy \(S_k\):

\[S_k=\sum\limits_{n=1}^k a_n=a_1+a_2+a_3\,+\,...\,+\,a_k\]

Ciąg sum częściowych szeregu jest sumą \(k\) pierwszych wyrazów ciągu \(a_n\) (\(k\) pierwszych składników szeregu):

\(S_1\) jest równe pierwszemu wyrazowi:

\[S_1=\sum\limits_{n=1}^1 a_n=a_1\]

\(S_2\) jest równe sumie pierwszych dwóch wyrazów ciągu:

\[S_2=\sum\limits_{n=1}^2 a_n=a_1+a_2\]

\(S_3\) jest równe sumie pierwszych trzech wyrazów ciągu:

\[S_3=\sum\limits_{n=1}^3 a_n=a_1+a_2+a_3\]

\[\vdots\]

\(S_6\) jest równe sumie pierwszych sześciu wyrazów ciągu:

\[S_6=\sum\limits_{n=1}^6 a_n=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6\]

Zauważ, że suma szeregu jest równa granicy jego ciągu sum częściowych:

\[\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=\lim\limits_{k\to \infty}\sum\limits_{n=1}^k a_n=\lim\limits_{n\to \infty} S_k\]