Start 
Rozwiń w szereg Fouriera funkcję \(f(x)\) na przedziale \([-\pi,\pi]\):
\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-1,&\textrm{dla}\,\,-\pi<x<0\\0,&\textrm{dla}\,\,x\in\{-\pi,0,\pi\}\\1,&\textrm{dla}\,\,0<x<\pi\end{array}\right.\]
Rozwiązanie
Funkcja spełnia warunki Dirichleta, ponieważ:
(1) przedział \([-\pi,\pi]\) można podzielić na skończoną ilość przedziałów takich, że funkcja \(f(x)\) jest ciągła i monotoniczna w każdym z nich (te przedziały to \([-\pi,0)\) i \([0,\pi]\))
(2) dla każdego \(x\in(-\pi,\pi)\) jest spełniony warunek:
\[f(x)=\frac{f(x_{-})+f(x_{+})}{2}=\frac{\lim\limits_{t\to x_{-}}f(t)+\lim\limits_{t\to x_{+}}f(t)}{2}\]
a dla \(x=-\pi\) i \(x=\pi\):
\[f(-\pi)=f(\pi)=\frac{f(-\pi_{+})+f(\pi_{-})}{2}=\frac{\lim\limits_{x\to -\pi_{+}}f(x)+\lim\limits_{x\to \pi_{+}}f(x)}{2}\]
Dla \(-\pi<x<0\) mamy:
\[-1=f(x)=\frac{\lim\limits_{t\to x_{-}}f(t)+\lim\limits_{t\to x_{+}}f(t)}{2}=\frac{\lim\limits_{t\to x_{-}}(-1)+\lim\limits_{t\to x_{+}}(-1)}{2}=-1\]
Dla \(0<x<\pi\) mamy:
\[1=f(x)=\frac{\lim\limits_{t\to x_{-}}f(t)+\lim\limits_{t\to x_{+}}f(t)}{2}=\frac{\lim\limits_{t\to x_{-}}1+\lim\limits_{t\to x_{+}}1}{2}=1\]
Dla \(x=-\pi\) i \(x=\pi\) mamy:
\[0=f(-\pi)=f(\pi)=\frac{\lim\limits_{t\to -\pi_{+}}f(t)+\lim\limits_{t\to \pi_{-}}f(t)}{2}=\frac{-1+1}{2}=0\]
Dla \(x=0\) mamy:
\[0=f(0)=\frac{\lim\limits_{t\to 0_{-}}f(t)+\lim\limits_{t\to 0_{+}}f(t)}{2}=\frac{-1+1}{2}=0\]
Zatem możemy rozwinąć funkcję \(f(x)\) w szereg Fouriera, czyli:
\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \bigg(a_n\cdot \cos\left(n\cdot x\right)+ b_n\cdot \sin\left(n\cdot x\right)\bigg)\]
gdzie:
\[a_0=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\,dx\]
\[a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos\left(n\cdot x\right)\,dx\]
\[b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin\left(n\cdot x\right)\,dx\]
Obliczamy kolejne współczynniki.
Zauważ, że funkcja \(f(x)\) jest nieparzysta (\(f(-x)=-f(x)\)) dla \(x\in[-\pi,\pi]\), stąd z własności całek oznaczonych natychmiast widać, że \(a_0=0\).
Obliczenia wyglądają następująco:
\[a_0=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\,dx=\frac{1}{\pi}\left(\int\limits_{-\pi}^0 -1\,dx+\int\limits_{0}^\pi 1\,dx\right)=0\]
Obliczamy \(a_n\) (korzystamy z parzystości funkcji \(\cos(x)\) dla \(x\in[-\pi,\pi]\), czyli faktu, że \(\cos(x)=\cos(-x)\)):
\[a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos\left(n\cdot x\right)\,dx=\frac{1}{\pi}\left(-\int\limits_{-\pi}^0 \cos\left(n\cdot x\right)\,dx+\int\limits_{0}^\pi \cos\left(n\cdot x\right)\,dx\right)=\]\[=\frac{1}{\pi}\left(-\int\limits_{0}^\pi \cos\big(n\cdot (-x)\big)\,dx+\int\limits_{0}^\pi \cos\left(n\cdot x\right)\,dx\right)=\]\[=\frac{1}{\pi}\left(-\int\limits_{0}^\pi \cos(n\cdot x)\,dx+\int\limits_0^\pi \cos(n\cdot x)\,dx\right)=0\]
Na koniec liczymy \(b_n\):
\[b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin\left(n\cdot x\right)\,dx=\frac{1}{\pi}\left(\int\limits_{-\pi}^0 -1\cdot \sin\left(n\cdot x\right)\,dx+\int\limits_{0}^\pi 1\cdot \sin\left(n\cdot x\right)\,dx\right)=\]\[=\frac{1}{\pi}\left(-\int\limits_{-\pi}^0\sin\left(n\cdot x\right)\,dx+\int\limits_{0}^\pi \sin\left(n\cdot x\right)\,dx\right)=\frac{1}{\pi}\left(\int\limits_{0}^\pi\sin\left(n\cdot x\right)\,dx+\int\limits_{0}^\pi \sin\left(n\cdot x\right)\,dx\right)=\]\[=\frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^\pi\sin\left(n\cdot x\right)\,dx=-\frac{2}{\pi}\cdot \frac{1}{n}\cdot \bigg[\cos\left(n\cdot x\right)\bigg]_{x=0}^{x=\pi}=\]\[=-\frac{2}{n\pi}\cdot \bigg(\cos(n\cdot \pi)-\cos(0)\bigg)=-\frac{2}{n\pi}\cdot \bigg(\cos(n\cdot \pi)-1\bigg)=\frac{2(1-\cos(n\pi))}{n\pi}\]
Zauważmy, że dla \(n=1,2,3,...\) współczynniki \(b_n\) można zapisać w następującej postaci:
\[b_n=\frac{2(1-\cos(n\pi))}{n\pi}=\frac{2(1-(-1)^n)}{n\pi}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{4}{n\pi}&\textrm{dla n nieparzystych}\\0&\textrm{dla n parzystych}\end{array}\right.\]
Zatem szereg Fouriera jest następujący:
\[f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2(1-(-1)^n)}{n\cdot \pi} \sin(n\cdot x)=\]\[=\frac{2}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1-(-1)^n}{n} \sin(n\cdot x)=\frac{4}{\pi}\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{\sin\big((2n+1)\cdot x\big)}{2n+1}\]
Wskazówki i teoria
Funkcja \(f(x)\) spełnia warunki Dirichleta na przedziale \([-\pi,\pi]\), gdy:
1. Przedział \([-\pi,\pi]\) można podzielić na skończoną ilość przedziałów takich, że funkcja \(f(x)\) jest monotoniczna w każdym z nich
2. Dla każdego \(x\in(-\pi,\pi)\) funkcja jest równa średniej arytmetycznej granicy lewostronnej i prawostronnej w tym punkcie:
\[f(x)=\frac{f(x_{-})+f(x_{+})}{2}=\frac{\lim\limits_{t\to x_{-}}f(t)+\lim\limits_{t\to x_{+}}f(t)}{2}\]
a dla \(x=-\pi\) i \(x=\pi\) funkcja jest równa średniej arytmetycznej granicy prawostronnej w punkcie \(-\pi\) i lewostronnej w punkcie \(\pi\):
\[f(-\pi)=f(\pi)=\frac{f(-\pi_{+})+f(\pi_{-})}{2}=\frac{\lim\limits_{x\to -\pi_{+}}f(x)+\lim\limits_{x\to \pi_{-}}f(x)}{2}\]
Jeżeli funkcja \(f(x)\) spełnia w przedziale \([-\pi,\pi]\) warunki Dirichleta, to posiada w tym przedziale rozwinięcie w szereg Fouriera (szereg trygonometryczny):
\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \bigg(a_n\cdot \cos\left(n\cdot x\right)+ b_n\cdot \sin\left(n\cdot x\right)\bigg),\,\,x\in[-\pi,\pi]\]
gdzie:
\[a_0=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\,dx\]
\[a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos\left(n\cdot x\right)\,dx\]
\[b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin\left(n\cdot x\right)\,dx\]
UWAGA 1: Gdy funkcja \(f(x)\) jest parzysta (czyli \(f(x)=f(-x)\)), to \(b_n=0\) dla każdego \(n=1,2,3,...\). Zatem rozwinięcie funkcji w szereg Foueria jest wtedy następujące:
\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n\cdot \cos\left(n\cdot x\right),\,\,x\in[-\pi,\pi]\]
UWAGA 2: Gdy funkcja \(f(x)\) jest nieparzysta (czyli \(-f(x)=f(-x)\)), to \(a_n=0\) dla każdego \(n=0,1,2,3,...\). Zatem rozwinięcie funkcji w szereg Foueria jest wtedy następujące:
\[f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n\cdot \sin\left(n\cdot x\right),\,\,x\in[-\pi,\pi]\]
Komentarzy (1)