Wykaż, że granica ciągu nie istnieje

\[\lim\limits_{n\to +\infty} (-1)^n\]

Rozwiązanie

Granica ciągu \(a_n=(-1)^n\) nie istnieje, ponieważ można wybrać dwa podciągi zbieżne do różnych granic.

Weźmy podciąg:

\[a_{2k}=(-1)^{2k}=1,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,k=1,2,3,...\]

wówczas:

\[\lim\limits_{k\to \infty} a_{2k}=\lim\limits_{k\to \infty} 1=1\]

Weźmy drugi podciąg:

\[a_{2k+1}=(-1)^{2k+1}=-1,\,\,\, \textrm{dla}\,\,\,k=1,2,3,...\]

wówczas:

\[\lim\limits_{k\to \infty} a_{2k+1}=\lim\limits_{k\to \infty} (-1)=-1\]

Granice podciągów są różne, zatem granica ciągu \(a_n=(-1)^n\) nie istnieje.

Jeżeli ciąg liczbowy jest zbieżny, to każdy jego podciąg nieskończony jest zbieżny do tej samej granicy.

Jeżeli z ciągu liczbowego \(a_n\) można wybrać dwa podciągi nieskończone, zbieżne do różnych granic, to ciąg liczbowy \(a_n\) jest rozbieżny.