Start 
Oblicz granicę ciągu
\[\lim\limits_{n\to \infty} (n^2-n)\]
Rozwiązanie
Aby obliczyć tą granicę musimy wyciągnąć najwyższą potęgę (czyli \(n^2\)) przed nawias:
\[\lim\limits_{n\to \infty} (n^2-n)=\lim\limits_{n\to \infty}n^2\cdot \left(1-\frac{1}{n}\right)=[\infty\cdot 1]=\infty\]
UWAGA
Błędem byłoby zastosowanie własności, że granica różnicy ciągów jest równa różnicy granic, czyli:
\[\lim\limits_{n\to \infty} (n^2-n)\neq \lim\limits_{n\to \infty}n^2-\lim\limits_{n\to \infty}n\]
Własność tą można stosować tylko w przypadku granic właściwych (czyli gdy granice są równe wartościom liczbowym).
Zapamiętaj, że:
\[\lim\limits_{n\to \infty}n^2-\lim\limits_{n\to \infty} n=[\infty-\infty]\,-\,\textrm{nie istnieje!}\]
innymi słowy wyrażenie \([\infty-\infty]\) jest symbolem nieoznaczonym.
Nieskończoności w granicach - jak to policzyć?
Granica ciągu: liczba + "nieskończoność" = "nieskończoność"
\(g+\infty=\infty+g=\infty,\,\,gdy\,\,-\infty<g\le \infty\)
Granica ciągu: liczba razy "nieskończoność" = "nieskończoność"
\(g\cdot\infty=\infty\cdot g=\infty,\,\,gdy\,\,0<g\le \infty\)
Granica ciągu: liczba dzielona przez "nieskończoność" = 0
\(\frac{g}{\infty}=0,\,\,gdy\,\,-\infty<g<\infty\)
Granica ciągu: liczba dzielona przez 0 = "nieskończoność"
\(\frac{g}{0}=\infty,\,\,gdy\,\,0<g<\infty\)
Granica ciągu: liczba do potęgi "nieskończoność" = 0, gdy liczba jest dodatnia i mniejsza od 1
\(g^{\infty}=0,\,\,gdy\,\,0<g<1\)
Granica ciągu: liczba do potęgi "nieskończoność" = "nieskończoność", gdy liczba jest większa od 1
\(g^{\infty}=\infty,\,\,gdy\,\,1<g\le \infty\)
Granica ciągu: "nieskończoność" do potęgi liczba = 0, gdy liczba jest ujemna
\(\infty^{g}=0,\,\,gdy\,\,-\infty<g< 0\)
Granica ciągu: "nieskończoność" do potęgi liczba = "nieskończoność", gdy liczba jest dodatnia
\(\infty^{g}=\infty,\,\,gdy\,\,0<g\le \infty\)
Komentarzy (2)