Start 
Podaj wzór na granicę ciągu
Rozwiązanie
Jest to prosta granica, która wynosi:
ponieważ podnoszenie ułamka mniejszego od 1 do coraz wyższych potęg \(n\), daje coraz mniejsze liczby, dlatego w granicy otrzymujemy liczbę 0.
Na rysunku poniżej widać zachowanie ciągu \(a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n\), czyli dla \(q=\frac{1}{2}\). Podobnie jak na poniższym rysunku zachowują się wszystkie ciągi postaci \(a_n=q^n\), gdzie \(0<q<1\). Wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\) ciąg \(a_n\) coraz bardziej zbliża się do zera:
Na drugim rysunku widać zachowanie ciągu \(a_n=\left(-\frac{1}{2}\right)^n\), czyli dla \(q=-\frac{1}{2}\). Podobnie jak na poniższym rysunku zachowują się wszystkie ciągi postaci \(a_n=q^n\), gdzie \(-1<q<0\). Wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\) ciąg \(a_n\) coraz bardziej zbliża się do liczby 0 (tym razem przyjmując na przemian wartości ujemne i dodatnie):
Wskazówki
\(|q|\) jest mniejszy od 1, więc liczymy granicę z ułamka niewłaściwego do potęgi n-tej.
Im większa wartość indeksu n, tym bliższej zera jest wartość ciągu \(a_n=q^n\).
Jak sobie radzić z granicami ciągów?
Jeżeli ciągi \(a_n\) i \(b_n\) są zbieżne do granic właściwych (skończonych liczb), to
\[\lim\limits_{n\to \infty}(a_n+b_n)=\lim\limits_{n\to \infty} a_n+\lim\limits_{n\to \infty} b_n\]
\[\lim\limits_{n\to \infty}(a_n-b_n)=\lim\limits_{n\to \infty} a_n-\lim\limits_{n\to \infty} b_n\]
\(\lim\limits_{n\to \infty}(c\cdot a_n)=c\cdot \lim\limits_{n\to \infty} a_n\), gdy \(c\in\mathbb{R}\)
\[\lim\limits_{n\to \infty}(a_n\cdot b_n)=\left(\lim\limits_{n\to \infty} a_n\right)\cdot \left(\lim\limits_{n\to \infty}b_n\right)\]
\(\lim\limits_{n\to \infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{\lim\limits_{n\to \infty} a_n}{\lim\limits_{n\to \infty} b_n}\), gdy \(\lim\limits_{n\to \infty} b_n\neq 0\)
\(\lim\limits_{n\to \infty}(a_n)^p=\left(\lim\limits_{n\to \infty} a_n\right)^p\),
gdy p jest liczbą całkowitą różną od zera
\(\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[k]{a_n}=\sqrt[k]{\lim\limits_{n\to \infty} a_n}\),
gdy k jest liczbą naturalną różną od 1
Jak radzić sobie z nieskończonościami w granicach?
Granica ciągu: liczba + "nieskończoność" = "nieskończoność"
\(g+\infty=\infty+g=\infty,\,\,gdy\,\,-\infty<g\le \infty\)
Granica ciągu: liczba razy "nieskończoność" = "nieskończoność"
\(g\cdot\infty=\infty\cdot g=\infty,\,\,gdy\,\,0<g\le \infty\)
Granica ciągu: liczba dzielona przez "nieskończoność" = 0
\(\frac{g}{\infty}=0,\,\,gdy\,\,-\infty<g<\infty\)
Granica ciągu: liczba dzielona przez 0 = "nieskończoność"
\(\frac{g}{0}=\infty,\,\,gdy\,\,0<g<\infty\)
Granica ciągu: liczba do potęgi "nieskończoność" = 0, gdy liczba jest dodatnia i mniejsza od 1
\(g^{\infty}=0,\,\,gdy\,\,0<g<1\)
Granica ciągu: liczba do potęgi "nieskończoność" = "nieskończoność", gdy liczba jest większa od 1
\(g^{\infty}=\infty,\,\,gdy\,\,1<g\le \infty\)
Granica ciągu: "nieskończoność" do potęgi liczba = 0, gdy liczba jest ujemna
\(\infty^{g}=0,\,\,gdy\,\,-\infty<g< 0\)
Granica ciągu: "nieskończoność" do potęgi liczba = "nieskończoność", gdy liczba jest dodatnia
\(\infty^{g}=\infty,\,\,gdy\,\,0<g\le \infty\)
Komentarzy (0)