W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Liczby zespolone - podstawowe wzory i własności

1. Co to jest liczba zespolona? Postać algebraiczna

Każdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci algebraicznej:

\[z=x+yi\]

gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\) (są liczbami rzeczywistymi), a "\(i\)" jest tzw. jednostką urojoną; liczbą, która po podniesieniu do kwadratu daje \(-1\):

\(i^2=-1\)

Każda liczba rzeczywista jest liczbą zespoloną, innymi słowy zbiór liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\) stanowi podzbiór liczb zespolonych, który oznaczamy symbolem \(\mathbb{C}\), tj. \(\mathbb{R}\subset \mathbb{C}\).

Przykłady liczb zespolonych

\[0=0+0i\]

\[-2=-2+0i\]

\[2+3i\]

\[\sqrt{2}-5i\]

CIEKAWOSTKA: Liczby zespolone, choć wydają się dziwnym tworem szalonego matematyka, mają ogromne zastosowania w wielu dziedzinach, np. w inżynierii elektrycznej, chemii, fizyce, medycynie, teorii sterowania. Pierwiastek z liczby ujemnej nie jest pomysłem pozbawionym logiki, ponieważ pozwala wykonać wiele ważnych obliczeń, których wynik jest "normalną" liczbą rzeczywistą. Liczby zespolone są, orócz macierzy i wyznaczników, jednym z podstawowych działów algebry liniowej.

2. Część rzeczywista i urojona

Koniecznie zapamiętaj dwa pojęcia związane z liczbami zespolonymi.

Część rzeczywistą liczby zespolonej \(z=x+yi\) oznaczamy symbolem \(Re(z)\) oraz\[Re(z)=x\]Natomiast część urojoną liczby zespolonej \(z=x+yi\) oznaczamy przez \(Im(z)\) oraz 
\[Im(z)=y\]

Przykład 1

Częścią rzeczywistą liczby \(2+i\) jest 2, a częścią urojoną jest 1, możesz to zapisać następująco:

\[Re(2+i)=2\]

\[Im(2+i)=1\]

Przykład 2

Część rzeczywista każdej liczby rzeczywistej jest równa tej liczbie, a część urojona liczby rzeczywistej jest równa zero:

\[Re(-5)=-5\]

\[Im(-5)=0\]

Przykład 3

Część rzeczywista każdej liczby czysto urojonej jest równa zero, a część urojona jest równa liczbie stojącej obok "\(i\)"

\[Re(-2i)=0\]

\[Im(-2i)=-2\]

Przykład 4

\[Re(x-y+2xi)=x-y\]

\[Im(x-y+2xi)=2x\]

Wyznacz część rzeczywistą i urojoną, moduł, argument i sprzężenie oraz postać trygonometryczną liczby zespolonej w kalkulatorze liczb zespolonych mojego autorstwa.

3. Kiedy dwie liczby zespolone są sobie równe?

Dwie liczby zespolone \(z_1=x_1+y_1i,\,\,z_2=x_2+y_2i\) są równe, wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe:

\[z_1=z_2\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\left\{\begin{array}{l}Re(z_1)=x_1=x_2=Re(z_2)\\Im(z_1)=y_1=y_2=Im(z_2)\end{array}\right.\]

Przykład 1

Przykład liczb zespolonych, które nie są sobie równe:

\[2+5i\neq 5+2i\]ponieważ ich części rzeczywiste i urojone nie są równe

Przykład 2

Równość liczb zespolonych wykorzystywana jest bardzo często przy rozwiązywaniu równań zespolonych, oto przykład:

\[z^2=i\]\[(x+yi)^2=i\]\[x^2+2xyi-y^2=i\]

Porównujemy części rzeczywiste i urojone obu stron równania:

\[\left\{\begin{array}{l}Re(x^2+2xyi-y^2)=Re(i)\\Im(x^2+2xyi-y^2)=Im(i)\end{array}\right.\]\[\left\{\begin{array}{l}x^2-y^2=0\\2xy=1\end{array}\right.\]\[\left\{\begin{array}{l}(x-y)(x+y)=0\\xy=\frac{1}{2}\end{array}\right.\]\[\left\{\begin{array}{l}x=y\\xy=\frac{1}{2}\end{array}\right.\,\,lub\,\,\left\{\begin{array}{l}x=-y\\xy=\frac{1}{2}\end{array}\right.\,\,(x,y\in\mathbb{R})\]

\[\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\y=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\,\,\,\,lub\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\y=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\]Ostatecznie liczby spełniające równanie \(z^2=i\) są postaci:\[z=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\,\,\,\,lub\,\,\,\,z=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\]

 

Działania na liczbach zespolonych

4. Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych

Liczby zespolone dodajemy (odejmujemy) poprzez dodanie (odjęcie) osobno części rzeczywistych i urojonych, podobnie jak przy dodawaniu/odejmowaniu wielomianów tj. \(a+bx+c+dx=(a+c)+(b+d)x\). 

Jeżeli \(z_1=x_1+y_1i\), \(z_2=x_2+y_2i\), to

\[z_1+ z_2=(x_1+y_1i)+ (x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i\]

\[z_1- z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i\]

Przykład 1

\[i+2i=3i\]

Przykład 2

\[2+i+3-\sqrt{3}i=5+(1-\sqrt{3})i\]

Przykład 3

\[\frac{1}{2}+i-\left(2+\frac{1}{2}i\right)=\left(\frac{1}{2}-2\right)+\left(1-\frac{1}{2}\right)i=-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i\]

Zauważ, że część rzeczywista sumy/różnicy liczb zespolonych jest sumą/różnicą części rzeczywistych:\[Re\left(z_1\pm z_2\right)=x_1\pm x_2\]

Podobnie część urojona jest sumą/różnicą części urojonych:\[Im\left(z_1\pm z_2\right)=y_1\pm y_2\]

5. Mnożenie liczb zespolonych

Liczby zespolone mnożymy podobnie jak wykonuje się mnożenie wielomianów tj. \((a+bx)(c+dx)=ac+adx+bcx+bdx^2\). Dodatkowo pamiętamy, że \(i^2=-1\). 

Jeżeli \(z_1=x_1+y_1i\), \(z_2=x_2+y_2i\), to

\[z_1\cdot z_2=(x_1+y_1i)\cdot (x_2+y_2i)=x_1 x_2+x_1 y_2 i+y_1x_2 i+y_1 y_2 i^2=\]

\[=x_1 x_2-y_1 y_2+(x_1 y_2+ y_1 x_2)i\]

Przykład 1

\[i(2+i)=2i+i^2=-1+2i\]

Przykład 2

\[(3-\sqrt{2}i)(-1-i)=-3-3i+\sqrt{2}i+\sqrt{2}i^2=-(3+\sqrt{2})-(3+\sqrt{2})i\]

Zauważ, że część rzeczywista iloczynu liczb zespolonych jest postaci:\[Re\left(z_1\cdot z_2\right)=x_1 x_2-y_1y_2\]

Natomiast część urojona iloczynu to:\[Im\left(z_1\cdot z_2\right)=x_1 y_2+y_1 x_2\]

6. Dzielenie liczb zespolonych

Dzielenie liczb zespolonych wykonuje się podobnie jak przy usuwaniu niewymierności z mianownika w przypadku wyrażeń algebraicznych. Bardzo przydaje się tu następujący wzór skróconego mnożenia \((x+yi)(x-yi)=x^2+y^2\).

Jeżeli \(z_1=x_1+y_1i\), \(z_2=x_2+y_2i\), to

\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2 i}\cdot \frac{x_2-y_2 i}{x_2-y_2 i}=\frac{(x_1+y_1 i)\cdot (x_2-y_2 i)}{x^2_2+y^2_2}=\]

\[=\frac{x_1 x_2-x_1 y_2 i+y_1 x_2 i+y_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}=\frac{x_1 x_2+y_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}+\frac{y_1 x_2-x_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}i\]

Przykład 1

\[\frac{1}{i}=\frac{1}{i}\cdot \frac{(-i)}{(-i)}=\frac{-i}{-i^2}=-i\]

Przykład 2

\[\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i}=\frac{1-i}{1-i^2}=\frac{1-i}{1-(-1)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\]

Przykład 3

\[\frac{1}{z}=\frac{1}{x+yi}\cdot \frac{(x-yi)}{(x-yi)}=\frac{x-yi}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i\]

Sprawdź wynik w kalkulatorze dzielenia liczb zespolonych.

Zauważ, że część rzeczywista ilorazu liczb zespolonych jest postaci:\[Re\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\frac{x_1 x_2+y_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}\]

Natomiast część urojona ilorazu to:\[Im\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\frac{y_1 x_2-x_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}\]

Kliknij i zobacz więcej przykładów działań na liczbach zespolonych

7. Sprzężenie liczby zespolonej

Sprzężenie liczby zespolonej \(z=x+yi\) oznaczamy symbolem \(\overline{z}\):

\[\overline{z}=x-yi\]

Przykład 1

\[\overline{1+i}=1-i\]

Przykład 2

\[\overline{5-2i}=5+2i\]

Przykład 3

\[\overline{(-i)}=i\]

Przykład 4

\[\overline{1}=1\]

Część rzeczywista sprzężenia \(\overline{z}\) jest taka sama jak część rzeczywista liczby \(z\), natomiast część urojona sprzężenia \(\overline{z}\) jest liczbą przeciwną do części urojonej liczby \(z\):

\[Re(\overline{z})=Re(z)\]\[Im(\overline{z})=-Im(z)\]

Zapamiętaj najważniejsze własności sprzężenia
Sprzężenie sumy/różnicy liczb zespolonych jest sumą/różnicą sprzężenień:\[\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm \overline{z_2}\]Sprzężenie iloczynu liczb zespolonych jest iloczynem sprzężenień:\[\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}\] Sprzężenie ilorazu liczb zespolonych jest ilorazem sprzężeń:\[\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\]

8. Moduł liczby zespolonej

Moduł liczby zespolonej \(z=x+yi\) oznaczamy symbolem \(|z|\):

\[|z|=\sqrt{x^2+y^2}\]

Moduł liczby zespolonej \(z\) jest liczbą rzeczywistą nieujemną (\(|z|\ge 0\)), co więcej interpretuje się jako odległość tej liczby od początku układu współrzędnych.

Przykład 1

\[|1|=|1+0i|=\sqrt{1^2+0^2}=1\]

Przykład 2

\[|-2i|=|0-2i|=\sqrt{0^2+(-2)^2}=\sqrt{4}=2\]

Przykład 3

\[|-3+4i|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\]

Zapamiętaj najważniejsze własności modułu zespolonego
Moduł każdej liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą nieujemną:\[|z|\ge 0\]Moduł liczby \(z\) jest równy modułowi jej sprzężenia i liczby przeciwnej:\[|z|=|\overline{z}|=|-z|\]Kwadrat modułu liczby \(z\) jest równy iloczynowi liczby \(z\) i jej sprzężenia:\[|z|^2=z\cdot \overline{z}\]Moduł iloczynu liczb zespolonych jest iloczynem modułów:\[|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|\]Moduł ilorazu liczb zespolonych jest ilorazem modułów:\[\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}\]Moduł potęgi liczby zespolonej jest równy potędze modułu:\[|z^n|=|z|^n\]

Na stronie wolframalpha.com możesz łatwo i szybko sprawdzić jaki jest moduł i argument liczby zespolonej. Wystarczy po prostu wpisać w odpowiednim polu liczbę zespoloną dla której chcesz obliczyć moduł i argument (zobacz przykład tutaj)

liczba zespolona wolfram

9. Argument główny liczby zespolonej

to kąt należący do przedziału \([0,2\pi)\) utworzony pomiędzy dodatnią częścią osi rzeczywistej (\(Re(z)\)), a promieniem wodzącym liczby \(z\).

Niech \(z=x+yi\) oraz \(\arg(z)=\alpha\), wtedy

\[\sin \alpha=\frac{y}{|z|}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\]

\[\cos \alpha=\frac{x}{|z|}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\]

Zwykle spotkasz się z założeniem: \(0\le \arg(z)<2\pi\), jednak możesz spotkać się też z warunkiem: \(-\pi< \arg(z)\le \pi\) (oba założenia są równoważne - argumenty liczb zespolonych zataczają okrąg, czyli \(360^o\) lub \(2\pi\)).

Przykłady

\[\arg(0)=\arg(1)=0\]

\[\arg(1+i)=\arg(2+2i)=\frac{\pi}{4}\]

\[\arg(i)=\arg(5i)=\frac{\pi}{2}\]

\[\arg(-1+i)=\arg(-3+3i)=\frac{3\pi}{4}\]

\[\arg(-1)=\arg(-20)=\pi\]

\[\arg(-i)=\arg(-\sqrt{2}i)=\frac{3}{2}\pi\]

Zapamiętaj najważniejsze własności argumentu zespolonego
Argument główny liczby zespolonej jest kątem:\[0\le \arg(z)<2\pi\]Argument główny iloczynu liczb zespolonych jest sumą argumentów:\[\arg(z_1\cdot z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)+2k\pi,\,\,k=0\,\,lub\,\,k=-1\] Argument ilorazu liczb zespolonych jest różnicą argumentów:\[\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\arg(z_1)-\arg(z_2)+2k\pi,\,\,k=0\,\,lub\,\,k=1\] Argument główny potęgi liczby zespolonej jest równy wielokrotności argumentu:\[\arg(z^n)=n\cdot \arg(z)+2k\pi,\,\,\,k\in\mathbb{Z}\]

Przykład 1

Liczymy argument bez użycia własności:

\[\arg(i\cdot(1+i))=\arg(i\cdot 1+i^2)=\arg(i-1)=\arg(-1+i)=\frac{3}{4}\pi\]

A teraz liczymy przy użyciu własności argumentu:

\[\arg(i\cdot(1+i))=\arg(i)+\arg(1+i)+2k\pi=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}+2k\pi=\frac{3}{4}\pi\]

Dobieramy \(k=0\) ponieważ \(0\le \frac{3}{4}\pi<2\pi\)

Przykład 2

Liczymy argument bez użycia własności (wykonujemy dzielenie liczb zespolonych):

\[\arg\left(\frac{1+i}{1-i}\right)=\arg\left(\frac{(1+i)^2}{1+1}\right)=\arg\left(\frac{1+2i-1}{2}\right)=\arg\left(\frac{2i}{2}\right)=\arg(i)=\frac{\pi}{2}\]

A teraz liczymy przy użyciu własności argumentu:

\[\arg\left(\frac{1+i}{1-i}\right)=\arg(1+i)-\arg(1-i)+2k\pi=\]\[=\frac{\pi}{4}-\frac{7}{4}\pi+2k\pi=-\frac{3}{2}\pi+2k\pi=-\frac{3}{2}\pi+2\pi=\frac{\pi}{2}\]

Dobieramy \(k=1\), aby argument mieścił się w przedziale od 0 do \(2\pi\).

Metody wyznaczania argumentu głównego

  1. metoda graficzna - zaznaczamy liczbę zespoloną na płaszczyźnie zespolonej (liczbie \(z=x+yi\) odpowiada punkt o współrzędnych (x,y)) i "na oko" wyznaczamy kąt jaki jest utworzony między dodatnią częścią osi rzeczywistej, a promieniem wodzącym liczby zespolonej
  2. z układu równań (\(z=x+yi\) - dane, \(\alpha\) - szukane):
    \[\sin \alpha=\frac{y}{|z|},\,\,\,\cos \alpha=\frac{x}{|z|}\]
  3. z arcusa tangensa (tylko, gdy \(x>0,\,y>0\)):
    \[\arg(z)=arctg\left(\frac{y}{x}\right),\,\,x>0,\,\,y>0\]

Zwykle stosuje się metodę graficzną (to podstawa!) plus jedna z metod 2 lub 3.

Szybki sposób wyznaczania argumentu:

1 określ, w której ćwiartce płaszczyzny zespolonej leży argument (aby to zrobić wystarczy zaznaczyć liczbę zespoloną na płaszczyźnie i zobaczyć w której ćwiartce się znajduje)
2. wyznacz wartość takiego kąta \(\alpha\) leżącego w ćwiartce wyznaczonej w pkt 1, którego sinus jest równy \(\frac{y}{|z|}\) lub cosinus jest równy \(\frac{x}{|z|}\). Wystarczy obliczyć tylko wartość sinusa lub tylko wartość cosinusa, nie trzeba liczyć obu.

Niech \(z=x+yi\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\).
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w I ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\ge 0,y\ge 0\)), to: \[0\le \arg(z)\le \frac{\pi}{2}\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w II ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\le 0,y\ge 0\)), to: \[\frac{\pi}{2}\le \arg(z)\le \pi\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w III ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\le 0,y\le 0\)), to: \[\pi\le \arg(z)\le \frac{3}{2}\pi\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w IV ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\ge 0,y\le 0\)), to: \[\frac{3}{2}\pi\le \arg(z)\le 2\pi\]

Zapamiętaj wartości sinusa i cosinusa podstawowych kątów:

Sinus i cosinus dla podstawowych wartości kątów

Kliknij i zobacz więcej przykładów jak liczyć moduł, sprzężenie i argument

10. Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Każdą liczbę zespoloną można zapisać w tzw. postaci trygonometrycznej:

\[z=|z|(\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha),\]

gdzie \(|z|\) to moduł liczby zespolonej \(z\), \(\alpha=\arg(z)\) to argument liczby \(z\).

Przykład 1

\[1=1\cdot (\cos(0)+i\sin(0))=\cos(0)+i\sin(0)\]

Przykład 2

\[i=1\cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\]

Przykład 3

\[1+i=\sqrt{2}\cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\]

Zapamiętaj najważniejsze własności cosinusa i sinusa
Cosinus jest funkcją parzystą, a sinus nieparzystą:\[\cos (-\alpha)=\cos \alpha,\,\,\,\,\sin(-\alpha)=-\sin \alpha\]
Funkcje trygonometryczne są okresowe (k jest liczbą całkowitą):\[\cos (\alpha+2k\pi)=\cos \alpha,\,\,\,\,\sin(\alpha+2k\pi)=\sin \alpha\]

11. Wzór de Moivre'a i potęgowanie liczb zespolonych

Jeżeli \(z=|z|(\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha),\) oraz \(n\in\mathbb{N}\), to\[z^n=|z|^n(\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha)^n=|z|^n\big(\cos (n\alpha) +i\cdot \sin (n\alpha)\big)\]

Przykład

\[(1+i)^8=(\sqrt{2})^8\cdot \left(\cos\left(8\cdot \frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(8\cdot \frac{\pi}{4}\right)\right)=\]\[=2^4\cdot \left(\cos\left(2\pi\right)+i\sin\left(2\pi\right)\right)=16\cdot (1+0)=16\]Możemy sprawdzić jeszcze wynik w kalkulatorze wolframalpha.com

Zapamiętaj schemat potęgowania liczb zespolonych

1. Zapisz liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej, w tym celu oblicz jej moduł i argument
2. Zastosuj wzór de Moivre'a
3. Przejdź z powrotem na postać algebraiczną, w tym celu oblicz wartości cosinusa i sinusa

12. Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Pierwiastek zespolony stopnia \(n\in\mathbb{N}\) z liczby \(z\) to każda liczba \(w\) spełniająca równość:\[w^n=z\]

Zbiór wszystkich pierwiastków zespolonych liczby \(z\) oznaczamy przez \(\sqrt[n]{z}\), taki zbiór zawiera dokładnie n liczb, które oznaczamy przez \(z_0,z_1,\ldots,n-1\):\[\sqrt[n]{z}=\{z_0,z_1,\ldots,z_{n-1}\}\]

UWAGA: Pierwiastek zespolony i "zwykły" pierwiastek z liczby rzeczywistej, to dwa zupełnie inne pojęcia. Różnica jest taka, że pierwiastek zespolony to zbiór wszystkich rozwiązań równania \(w^n=z\) (tych rozwiązań jest dokładnie \(n\)), natomiast pierwiastek z liczby rzeczywistej to jedna liczba.

Przykład 1

Pierwiastek zespolony 2-go stopnia z liczby \(-1\), to zbiór złożony z liczb \(i\) oraz \(-i\):\[\sqrt{-1}=\{i,-i\}\]ponieważ \(i^2=-1\) oraz \((-i)^2=-1\).

W przypadku liczb rzeczywistych pierwiastek 2-go stopnia z liczby \(-1\) w ogóle nie istnieje!

Przykład 2

Pierwiastek zespolony 2-go stopnia z liczby \(1\), to zbiór złożony z liczb \(1\) oraz \(-1\):\[\sqrt{1}=\{1,-1\}\]ponieważ \(1^2=1\) oraz \((-1)^2=1\).

W przypadku liczb rzeczywistych pierwiastek 2-go stopnia z liczby \(1\) jest równy 1
\[\sqrt{1}=1\]Kliknij i sprawdź obliczenia w kalkulatorze pierwiastków zespolonych

Każdy z pierwiastków n-tego stopnia liczby zespolonej \(z\) możemy obliczyć ze wzoru:\[z_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)\right),\,\,\,dla\,\,\,k=0,1,\ldots,n-1\]gdzie \(|z|\) to moduł, natomiast \(\alpha\) to argument liczby \(z\).

Dla przykładu \(z_0,\,z_1,\,z_2\) są następującej postaci:

\[z_0=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha}{n}\right)\right)\]\[z_1=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha+2\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha+2\pi}{n}\right)\right)\]\[z_2=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha+4\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha+4\pi}{n}\right)\right)\]

Gdy znamy pierwiastek \(z_0\), to każdy następny pieriwastek da się obliczyć ze wzoru:

\[z_k=z_0\left(\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right),\,\,\,dla\,\,\,k=1,2,\ldots,n-1\]

Powyższy wzór wynika z poniższych przekształceń, w których używamy mnożenia liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej:

\[z_0\left(\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right)=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha}{n}\right)\right)\left(\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right)=\]\[=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)\right)\]

Interpretacja geometryczna pierwiastków z liczby zespolonej

Zbiór pierwiastków stopnia \(\ge 3\) tworzy na płaszczyźnie zespolonej n-kąt foremny wpisany w okrąg o promieniu \(\sqrt[n]{|z|}\) i środku w początku układu współrzędnych. Gdy n=3 to otrzymamy trójkąt równoboczny, dla n=4 otrzymamy kwadrat. Dzięki interpretacji geometrycznej zbioru pierwiastków zespolonych możesz łatwo sprawdzić swoje obliczenia, wystarczy narysować wszystkie pierwiastki na płaszczyźnie i zobaczyć, czy tworzą wielokąt foremny.

Kliknij i zobacz więcej przykładów pierwiastkowania liczb zespolonych

13. Postać wykładnicza i wzory Eulera

Każdą liczbę zespoloną można zapisać również w postaci wykładniczej:

\[z=|z|(\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha)=|z|e^{i\alpha},\]

gdzie \(|z|\) to moduł liczby zespolonej \(z\), \(\alpha=\arg(z)\) to argument liczby \(z\), \(e\) to liczba Eulera (Nepera) oraz \(e^{i\alpha}=\cos \alpha+i\sin \alpha\)

Przykład

Oto tożsamość Eulera, która uznawana jest za najpiękniejszy wzór matematyczny:\[e^{i\pi}=\cos \pi+i\sin \pi=-1\]gdy powyższą tożsamość zapiszemy w postaci \(e^{i\pi}+1=0\),
to w jednym równaniu będą występowały najważniejsze stałe matematyczne \(0,1,\pi,e,i\)

Z postacią wykładniczą związane są wzory Eulera:

\[\cos \alpha=\frac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2},\,\,\,\sin \alpha=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}\]

Wzory Eulera pojawiąją się najczęściej w zadaniach, w których należy zapisać funkcje trygonometryczne wielokrotności kątą w innej postaci.

14. Pułapki związane z jednostką urojoną 

We wszelkich obliczeniach na liczbach zespolonych stosuj definicję jednostki urojonej, tj.:

Jednostką urojoną nazywamy liczbę \(i\), taką, że \[i^2=-1\]

Jednostka urojona to formalnie jeden z dwóch elementów zbioru liczb zespolonych spełniających warunek \(i^2=-1\), drugim elementem jest liczba \(-i\), ponieważ \((-i)^2=(-1)^2\cdot i^2=-1\).

Często możesz spotkać się z zapisem

\[i=\sqrt{-1}\]

który choć nieformalny (czyli niepoprawny matematycznie - zobacz część poświęconą pierwiastkowaniu liczb zespolonych) jest akceptowalny. Musisz jednak zachować ostrożność!

Do czego może prowadzić stosowanie zapisu \(i=\sqrt{-1}\)?

Oto przykłady sprzeczności jakie możena otrzymać stosując zapis \(i=\sqrt{-1}\):

\[-1=i^2=i\cdot i=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\sqrt{1}=1\]

\[\frac{1}{i}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}=\sqrt{\frac{1}{-1}}=\sqrt{\frac{-1}{1}}=\sqrt{-1}=i\]

Powyższe sprzeczności wynikąją z nieuprawnionego zastosowania własności pierwiastka rzeczywistego w przypadku pierwiastków zespolonych (które nie są liczbami, a zbiorami liczb - zobacz część tego poradnika o pierwiastkowaniu liczb zespolonych).

Ważne: Przy rozwiązywaniu zadań nigdy nie zamieniaj symbolu \(i\) na \(\sqrt{-1}\), jeśli jest "i" to niech tak zostanie, ale jeśli masz \(i^2\), \(i^3\) itp. to już spokojnie możesz zastosować definicję i napisać \(i^2=-1\) lub np. \(i^3=i^2\cdot i=-1\cdot i=-i\).

15. Sprawdź swoją wiedzę o liczbach zespolonych - zadania kontrolne

3. Podaj część rzeczywistą i urojoną liczb zespolonych

\[z_1=1,\,\,\,z_2=i,\,\,\,z_3=1+i\]

Jeżeli \(z=x+yi\), to \(Re(z)=x\) (część rzeczywista) oraz \(Im(z)=y\) (część urojona), zatem:

\[Re(z_1)=Re(1)=1\]

\[Im(z_1)=Im(1)=0\]

\[Re(z_2)=Re(i)=0\]

\[Im(z_2)=Im(i)=1\]

\[Re(z_3)=Re(1+i)=1\]

\[Im(z_3)=Im(1+i)=1\]

2. Oblicz

\[i^3=?\]

Skorzystamy z definicji jednostki urojonej, tj. \(i^2=-1\):

\[i^3=i^{2+1}=i^2 \cdot i=-1\cdot i=-i\]

3. Uzasadnij, że prawdziwy jest wzór skróconego mnożenia:

\[(x+yi)(x-yi)=x^2+y^2\]

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów \((x-y)(x+y)=x^2-y^2\) oraz z definicji jednostki urojonej, tj. \(i^2=-1\):

\[(x+yi)(x-yi)=x^2-(yi)^2=x^2-y^2 i^2=x^2-(-1)y^2=x^2+y^2\]

Wzór ten możemy też oczywiście wyprowadzić korzystając tylko z własności działań na liczbach zespolonych (mnożymy kolejne wyrażenia w nawiasach):

\[(x+yi)(x-yi)=x^2-xyi+xyi-(yi)^2=x^2-y^2 i^2=x^2-(-1)y^2=x^2+y^2\]

4. Oblicz moduły liczb zespolonych

\[z_1=i,\,\,\,z_2=1+i,\,\,\,z_3=-1-i\]

Korzystamy z definicji modułu liczby zespolonej. Jeżeli \(z=x+yi\), to \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\):

\[|z_1|=|i|=\sqrt{0^2+1^2}=1\]

\[|z_2|=|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\]

\[|z_3|=|-1-i|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\]

Zrób kolejny krok i ucz się liczb zespolonych na przykładach

Zapisz

Zapisz

Zapisz

Komentarzy (4)

  • Sebastian
    @rio1112 Dziękuję, błąd poprawiony.
  • rio1112
    Gdy liczba zespolona z leży w IV ćwiartce płaszczyzny zespolonej (x≥0,y≥0), to:

    Powinno być (x≥0,y≤0)
  • Sebastian
    @Patryk.S1995 Tak, zgadza się, dziękuję :-)
  • Patryk.S1995
    W ćwiczeniu 4 (Oblicz moduły liczb zespolonych) \(|z_2|\) wynik powinien wyjść pierwiastek z dwóch?