Obliczyć prawdopodobieństwo, że rzucając symetryczną kostką do gry otrzymamy parzystą liczbę oczek.

Zobacz rozwiązanie >>

Obliczyć prawdopodobieństwo, że rzucając dwukrotnie symetryczną kostką do gry otrzymamy dwa razy liczbę 6.

Zobacz rozwiązanie >>

W teleturnieju gracz ma wybór między 3 bramkami. W jednej z bramek jest samochód, w pozostałych dwóch są koty w worku. Prowadzący teleturniej wie, w której bramce jest samochód. Gracz wskazuje jedną z bramek, wtedy prowadzący otwiera jedną z pozostałych dwóch bramek, tą w której jest kot w worku. Prowadzący pyta gracza, czy chce zmienić bramkę. Gracz wygrywa, gdy wskaże bramkę, która kryje samochód. Załóżmy, że gracz na początku gry wybrał bramkę nr 1, a prowadzący otworzył bramkę nr 3 z kotem w worku. Czy graczowi opłaca się zmienić wybór i wskazać bramkę nr 2? Uzasadnij odpowiedź obliczając odpowiednie prawdopodobieństwa.

Zobacz rozwiązanie >>

Rzucamy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe otrzymania liczby oczek większej od 3 pod warunkiem, że liczba oczek jest parzysta.

Zobacz rozwiązanie >>

W urnie jest 11 kul białych, 10 kul czarnych i 9 kul niebieskich. Korzystając z klasycznej definicji prawdopodobieństwa oblicz:

(a) prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej
(b) prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej
(c) prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej lub czarnej

Zobacz rozwiązanie >>

Mamy dwie kostki go gry, z których jedna jest idealnie symetryczna i wyważona, tak, że wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne. Druga kostka jest krzywa, tak, że prawdopodobieństwo wyrzucenia na niej 6 wynosi \(\frac{1}{5}\). Losowo wybrano jedną z dwóch kostek i wykonano nią dwa rzuty otrzymując dwie szóstki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucano krzywą kostką?

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Pewna rodzina ma dwójkę dzieci. Oblicz prawdopodobieństwo, że wszystkie dzieci są chłopcami pod warunkiem, że przynajmniej jedno dziecko jest chłopcem.

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

W urnie jest 9 kul: 4 białe i 5 czarnych. Wybieramy losowo bez zwracania 2 kule. Wyznacz prawdopodobieństwo warunkowe tego, że druga wylosowana kula będzie czarna pod warunkiem, że pierwsza wylosowana kula była biała

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

W urnie jest 9 kul: 4 białe i 5 czarnych. Wybieramy losowo 2 kule. Wyznacz prawdopodobieństwo, że obie kule będą białe, gdy:

(a) losujemy kule bez zwracania
(b) losujemy kule ze zwracaniem (losujemy pierwszą, zapisujemy jaki ma kolor i wrzucamy do urny)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Mamy zbiór \(n\in\mathbb{N}\) elementów, wśród których \(m\leq n\) ma cechę C. Wybieramy losowo 2 elementy. Wyznacz prawdopodobieństwo, że oba wylosowane elementy będą miały cechę C, gdy:

(a) losujemy elementy bez zwracania
(b) losujemy elementy ze zwracaniem (losujemy pierwszy, zapisujemy czy ma cechę C i wrzucamy do urny)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Przestrzeń \(\Omega\) zawiera 6 zdarzeń elementarnych \(\{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4,\omega_5,\omega_6\}\). Niech \(A=\{\omega_1,\omega_3,\omega_5\}\) i \(B=\{\omega_2,\omega_3,\omega_6\}\). Wyznaczyć zdarzenia:

(a) \(A\cup B\)
(b) \(A\cap B\)
(c) \(A\setminus B\)
(d) \(B\setminus A\)
(e) \(A^c\)

oraz oblicz prawdopodobieństwa klasyczne wszystkich powyższych zdarzeń.

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Z talii 52 kart losowo wybieramy 5. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród kart będzie dokładnie jedna para.

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania 4 kart w różnych kolorach z talii 52 kart?

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Podaj przykład doświadczenia losowego, w którym przestrzeń zdarzeń elementarnych \(\Omega\) jest:

(a) skończona
(b) przeliczalna
(c) nieprzeliczalna

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Umieszczamy 4 różne kule w 8 różnych urnach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

(a) każda kula będzie w innej urnie
(b) dwie kule będą w tej samej urnie

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Umieszczamy losowo 4 nierozróżnialne kule w 8 różnych urnach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

(a) każda kula będzie w innej urnie
(b) dwie kule będą w tej samej urnie

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Umieszczamy n ponumerowanych kul w n ponumerowanych urnach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie jedna urna jest pusta.

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Pewien student zdaje egzaminy z fizyki i matematyki. Prawdopodobieństwo, że zda fizykę wynosi 0,4, że zda oba egzaminy 0,2, a że zda co najmniej jeden egzamin wynosi 0,7. Oblicz prawdopodobieństwo, że student zda egzamin z matematyki.

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Statek (Titanic) posiada 2 przedziały wypornościowe duże i 3 mniejsze. Statek nie utonie (utrzyma się na wodzie) jeśli szczelny będzie co najmniej jeden duży i co najmniej 2 małe przedziały wypornościowe. Niech \(D_1,D_2\) oznaczają, że duże przedziały wypornościowe są szczelne, a \(M_1,M_2,M_3\), że szczelne są małe przedziały wypornościowe. Za pomocą zdarzeń \(D_i,\,\,(i=1,2)\) i \(M_j,\,\,(j=1,2,3)\) zapisz zdarzenie, że statek nie utonie (utrzymuje się na wodzie).

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Fabryka produkuje 100 samochodów miesięcznie. Niech \(W_i,\,\,i=1,2,...,100\) oznacza zdarzenie polegające na tym, że i-ty wyprodukowany w miesiącu samochód jest wadliwy. Za pomocą zdarzeń \(A_i\) zapisz następujące zdarzenia:

(a) żadne auto nie jest wadliwe (wszystkie są sprawne)
(b) co najmniej jeden samochód jest wadliwy
(c) wszystkie samochody są wadliwe

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Wykazać, że:

(a) \(P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)\)
(b) \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
(c) \(P(\emptyset)=0\)
(d) \(P(A^c)=1-P(A)\)
(e) Jeżeli \(A\subset B\), to \(P(A)\leq P(B)\)
(f) \(P(A)\leq 1\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Wiedząc, że \(P(A\setminus B)=\frac{1}{4}\) oraz \(P(A)=\frac{1}{2}\) i \(P(B)=\frac{1}{2}\) oblicz prawdopodobieństwa:

(a) \(P(A\cap B)\)
(b) \(P(A\cup B)\)
(c) \(P(A^c)\) i \(P(B^c)\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Wiedząc, że \(P(A\setminus B)=\frac{1}{4}\) oraz \(P(A)=\frac{1}{2}\) i \(A\cup B\) jest zdarzeniem pewnym oblicz prawdopodobieństwa:

(a) \(P(A\cap B)\)
(b) \(P(B)\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Wiedząc, że \(P(A\setminus B)=\frac{1}{4}\) i \(P(A\cup B)=\frac{1}{4}\) oraz że zdarzenia A i B są niezależne, oblicz prawdopodobieństwa:

(b) \(P(B)\)
(a) \(P(A\cap B)\)
(c) \(P(A)\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Wiedząc, że \(P(A)=\frac{1}{4}\) i \(P(A\cup B)=\frac{3}{4}\) oraz że zdarzenia A i B są niezależne, oblicz prawdopodobieństwa:

(b) \(P(B)\)
(a) \(P(A\cap B)\)
(c) \(P(A\setminus B)\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Wiedząc, że \(P(A)=3P(A^c)\) i \(P(A\cup B)=\frac{3}{4}\) oraz że zdarzenia A i B są niezależne, oblicz prawdopodobieństwa:

(a) \(P(A)\)
(b) \(P(B)\)
(c) \(P(A\cap B)\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Wiedząc, że \(P(A)=2P(A^c)\) i \(B\subset A\) oblicz prawdopodobieństwa zdarzenia \(P(A\cup B)\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Załóżmy, że \(P(B)=aP(A)\) dla \(a\in[0,1]\), \(P(A)>0\) i zdarzenia \(A\) i \(B\) są niezależne. Sprawdzić dla jakich \(a\) zachodzi:

\(P(A\cup B)=0\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Wiedząc, że \(P(A)=5P(A^c)\), \(P(B^c)=\frac{1}{2}\) i \(P(A\cup B)=\frac{3}{4}\) oraz że zdarzenia A i B są niezależne, oblicz prawdopodobieństwo:

\(P(A\cap B)\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Rozpatrzmy rzut symetryczną, sześcienną kostką. Sprawdź, czy zdarzenia A i B są niezależne:

(a) A - wyrzucenie parzystej liczby oczek, B - wyrzucenie liczby oczek większej od 2
(b) A - wyrzucenie nieparzystej liczby oczek, B - wyrzucenie liczby oczek nie większej niż 2
(c) A - wyrzucenie parzystej liczby oczek, B - wyrzucenie nieparzystej liczby oczek

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Rozpatrzmy rzut 2 symetrycznymi, sześciennymi kostkami. Sprawdź, czy zdarzenia A i B są niezależne:

(a) A - suma oczek wynosi 4, B - różnica oczek wynosi 2
(b) A - iloczyn oczek wynosi 2, B - iloraz oczek wynosi 2

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Wśród wszystkich rodzin, które mają n dzieci wybieramy losowo jedną rodzinę. Niech A oznacza zdarzenie, że w losowo wybranej rodzinie jest co najwyżej jedna dziewczynka, a B to zdarzenie polegające na tym, że w rodzinie są chłopcy i dziewczynki. Sprawdź dla jakich wartości n, zdarzenia A i B są niezależne.

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Wykaż, że jeżeli zdarzenia A i B są niezależne to zdarzenia:

(a) \(A^c\) i \(B\)
(b) \(A^c\) i \(B^c\)

również są niezależne.

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Niech \((A_k)_{k=1}^\infty\) będzie ciągiem parami rozłącznych zdarzeń losowych takich, że \(P(A_{k+1})=\frac{2}{3}P(A_k)\) dla \(k=1,2,3,...\) oraz \(\Omega=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_k\). Oblicz \(P(A_1)\).

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

W budynku mającym 10 pięter, 7 osób jedzie windą. Jaka jest szansa, że każda osoba wysiądzie na innym piętrze?

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Obliczyć prawdpodobieństwo, że w grupie n osoób co najmniej 2 osoby będą miały urodziny tego samego dnia.

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Rzucasz kostką do gry:

• gdy wypadnie liczba parzysta dostajesz 100 zł,
• gdy wypadnie 3 lub 5 nic nie dostajesz, ale też nic nie płacisz,
• gdy wypadnie liczba 1 płacisz 200 zł
  
  

Niech zmienna losowa X reprezentuje Twoją wygraną. Wyznacz:

(a) rozkład prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę rozkładu zmiennej X
(b) \(P(X>0)\)
(c) wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej X

Zobacz rozwiązanie >>

Ile wynosi wartość oczekiwana i wariancja dyskretnej zmiennej losowej o rozkładzie dwupunktowym:

\(P(X=-1)=0,3,\,\,\,P(X=1)=0,7\)

Zobacz rozwiązanie >>

Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej \(X\), gdy wiadomo, że \(EX=0,1\), \(EX^2=0,9\) oraz zmienna \(X\) przyjmuje tylko trzy wartości:

\(x_1=-1,\,\,\,x_2=0,\,\,\,x_3=1\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Wyznaczyć dystrybuantę oraz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej o rozkładzie podanym w tabeli:

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Dla jakiej wartości parametru p tabelka przedstawia rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej:

Wyznaczyć dystrybuantę i wartość oczekiwaną zmiennej losowej.

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Wiedząc, że \(EX=6\) określ dla jakiej wartości parametru p funkcja \(F(x)\) jest dystrybuantą zmiennej losowej X:

\(F(x)=\left\{\begin{array}{l}{0\quad \textrm{dla}\quad x<1\\p\quad \textrm{dla}\,\, 1<x\leq 5\\\frac{1}{2}\quad \textrm{dla}\quad 5<x\leq 7\\\frac{3}{4}\quad \textrm{dla}\quad 7<x\le 11}\\1\quad\textrm{dla}\,\,x>11\end{array}\right.\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Oblicz funkcję charakterystyczną rozkładu dwupunktowego.

Zobacz rozwiązanie >>

Oblicz funkcję charakterystyczną rozkładu dwumianowego.

Zobacz rozwiązanie >>

Oblicz funkcję charakterystyczną zmiennej losowej o rozkładzie Poissona.

Zobacz rozwiązanie >>

Oblicz funkcję charakterystyczną zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\lambda\).

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

W ciągu 25 dni mierzono liczbę klientów pewnego sklepu i otrzymano następujące wyniki

34, 24, 43, 37, 17, 51, 38, 34, 25, 47, 43, 23, 29, 35, 39, 51, 25, 16, 29, 36, 39, 47, 54, 23,26

Określ średnią, wariancję empiryczną oraz medianę.

Zobacz rozwiązanie >>

Wśród pracowników firmy "Student" przeprowadzono ankietę, zapytano 30 pracowników o liczbę dzieci. Wyniki ankiety wyglądają następująco:

1, 0, 2, 0, 1, 4, 1, 2, 0, 0, 2, 1, 4, 0, 1, 5, 0, 1, 2, 6, 2, 3, 1, 0, 2, 0, 1, 3, 2, 1

(a) Określ zbiorowość statystyczną, jednostkę statystyczną oraz badaną cechę statystyczną (zmienną)
(b) Utwórz szereg prosty (szczegółowy)
(c) Utwórz szereg rozdzielczy punktowy (jednostopniowy)

Zobacz rozwiązanie >>

W dniu 1 sierpnia 2016 roku o godzinie 13:00 zmierzono temperatury w polskich miastach wojewódzkich, otrzymując następujące temperatury (w stopniach C):

20, 22, 25, 25, 29, 27, 26, 21, 23, 22, 21, 28, 20, 25, 28, 24

Na podstawie powyższych danych:
(a) określ zbiorowość, jednostkę i cechę statystyczną
(b) określ szereg prosty i rozdzielczy punktowy
(c) oblicz średnią arytmetyczną, wariancję oraz wskaż przeciętne pozycyjne (dominantę, medianę i kwartyle)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Zmierzono zużycie paliwa (l/100 km) w 20 autach pewnej marki otrzymując następujące wyniki:

4.7, 5.1, 4.3, 5.2, 5.0, 5.7, 4.6, 4.9, 5.3, 4.7, 4.9, 5.4, 4.7, 4.8, 4.9, 5.1, 5.0, 4.6, 4.9, 4.6

Zakładając, że rozkład zużycia benzyny jest normalny, określ przedział ufności dla średniego zużycia paliwa na poziomie ufności 0.95.

Zobacz rozwiązanie >>