Rzucamy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe otrzymania liczby oczek większej od 3 pod warunkiem, że liczba oczek jest parzysta.

Rozwiązanie

Zbiór zdarzeń elementarnych zawiera liczby od 1 do 6, które są wynikami rzutu kostką:

\[\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\]

Liczność zbioru zdarzeń elementarnych wynosi 6:

\[|\Omega|=6\]

Niech:

\(A\) będzie zdarzeniem polegającym na wyrzuceniu liczby oczek większej od 3, czyli 4,5 lub 6 oczek \(A=\{4,5,6\}\)
\(B\) będzie zdarzeniem polegającym na wyrzuceniu parzystej liczby oczek, czyli 2,4 lub 6 \(B=\{2,4,6\}\)

Naszym celem jest obliczenie prawdopodobieństa warunkowego, że zaszło zdarzenie A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B:

\[P(A|B)=?\]

Zastosujemy wzór na prawdopodobieństwo warunkowe:

\[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Mamy:

\[|A|=3\]

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]

\[|B|=3\]

\[P(B)=\frac{|B|}{|\Omega|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]

\[A\cap B=\{4,5,6\}\cap \{2,4,6\}=\{4,6\}\]

\[|A\cap B|=2\]

\[P(A\cap B)=\frac{|A\cap B|}{|\Omega|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\]

stąd:

\[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\]

Wskazówki

Prawdopodobieństwo warunkowe

jest pomocne przy obliczaniu szansy, że dane zdarzenie zajdzie pod warunkiem, że zaszło inne zdarzenie.

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B oznaczamy przez \(P(A|B)\) i liczymy ze wzoru:

\[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

przy założeniu, że \(P(B)>0\).

Dla zdarzenia B takiego, że \(P(B)=0\) przyjmuje się, że \(P(A|B)=0\).

Jak obliczyć prawdopodobieństwo całkowite?

stosujemy wzór:

\[P(A)=\sum\limits_{k=1}^{n} P(A|B_k) P(B_k)=\]

\[=P(A|B_1) P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+...+P(A|B_n)P(B_n)\]

gdzie ciąg zbiorów parami rozłącznych \(B_k,\,k=1,2,...,n\) takich, że \(P(B_k)>0\) dla każdego \(k=1,2,...,n\), stanowi rozbicie całej przestrzeni zdarzeń elementarnych \(\Omega\), tzn.

\[\Omega= \bigcup\limits_{k=1}^n B_k=B_1\cup B_2\cup ... \cup B_n\]

Wzór Bayesa

jest następujący:

\[P(B_k|A)=\frac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(A)},\,\,\,dla\,\,\,k=1,2,...,n\]

gdzie ciąg zbiorów parami rozłącznych \(B_k,\,k=1,2,...,n\) takich, że \(P(B_k)>0\) dla każdego \(k=1,2,...,n\), stanowi rozbicie całej przestrzeni zdarzeń elementarnych \(\Omega\), natomiast \(P(A)>0\).

\(P(A)\) możemy obliczyć korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.