Start Oblicz iloczyn skalarny wektorów
\(\overline{u}=[1,-3,2\sqrt{2}],\,\,\overline{v}=\left[0,1,-\frac{1}{2}\right]\)
NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 30 000 studentów. Dołącz i Ty!
Kategorie zadań z rozwiązaniami z matematyki wyższej
Geometria analityczna - zadania z rozwiązaniami
Oblicz iloczyn skalarny wektorów i sprawdź czy są one prostopadłe
\(\vec{a}=[1,0,-3],\,\,\vec{b}=\left[3,10,1\right]\)
Oblicz pole równoległoboku rozpiętego na wektorach
\(\vec{a}=[1,2,3],\,\,\vec{b}=\left[3,2,-1\right]\)
Sprawdź, czy wektory są równoległe
\(\vec{u}=[1,2,3],\,\,\vec{v}=\left[2,4,6\right]\)
Zbadaj prostopadłość wektorów:
\(\vec{a}=[-3,2,7],\,\,\vec{b}=\left[4,-1,2\right]\)
Oblicz kąt między wektorami
\(\overline{u}=[-2,1,2],\,\,\overline{v}=\left[0,1,1\right]\)
Oblicz iloczyn wektorowy wektorów
\(\vec{u}=[-1,3,2],\,\,\vec{v}=\left[-1,2,-5\right]\)
Oblicz iloczyn skalarny wektorów:
\(\vec{u}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k},\,\,\vec{v}=5\vec{i}-3\vec{k}\)
Wiedząc, że \(\vec{a}\circ \vec{b}=3\) oraz \(|\vec{a}|=1,\,\,|\vec{b}|=2\) oblicz iloczyn skalarny wektorów \(\vec{p}\circ \vec{q}\), gdzie
\(\vec{p}=\vec{a}+\vec{b},\,\,\vec{q}=2\vec{a}-5\vec{b}\)
Wyznacz wektor równoległy do płaszczyzny zawierającej wektory:
\(\vec{u}=[4,-1,5],\,\,\vec{v}=\left[3,1,-7\right]\)
Wyznacz wektor prostopadły do wektorów:
\(\vec{u}=[-1,3,2],\,\,\vec{v}=\left[-1,2,-5\right]\)
Dla jakich parametrów \(a,b\in\mathbb{R}\), wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są prostopadłe:
\(\vec{u}=[a+b,1,b],\,\,\vec{v}=\left[-1,2a,3\right]\)
Napisać równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt \(P=(-1,2,0)\) i równoległej do wektora
\(\overline{u}=[1,2,3]\)
Napisać równanie parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez punkt \(P=(-1,2,-4)\) i równoległej do wektorów
\(\vec{a}=[1,0,-2],\,\,\,\vec{b}=[0,-8,-5]\)
Napisać równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez punkt \(P=(2,1,-3)\) i prostopadłej do wektora
\(\vec{n}=[-1,7,4]\)
Napisać równanie parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez punkty:
\(A=(-1,0,1),\,\,B=(5,0,6),\,\,C=(1,1,1)\)
Napisać równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez punkty:
\(A=(-1,0,1),\,\,B=(5,0,6),\,\,C=(1,1,1)\)
Przekształć prostą \(l\) daną w postaci krawędziowej
\(\left\{\begin{array}{l}2x-3y+z=0\\x+y+2z-4=0\end{array}\right.\)
na postać kierunkową.
Przekształć prostą \(l\) daną w postaci krawędziowej
\(\left\{\begin{array}{l}-x+3y+2z+1=0\\-x+2y+5z-3=0\end{array}\right.\)
na postać parametryczną.
Przekształć prostą \(l\) daną w postaci parametrycznej
\(\left\{\begin{array}{l}x=-2+8t\\y=t\\z=2\end{array}\right.\)
na postać krawędziową.
Napisać równanie parametryczne i kierunkowe prostej przechodzącej przez punkty
\(P=(2,-1,4),\,\,Q=(4,-2,0)\)
Przekształć prostą daną w postaci parametrycznej
\(\left\{\begin{array}{l}x=2-3\cdot t\\y=2\cdot t\\z=1-t\end{array}\right.\)
na postać kierunkową.
Przekształć prostą daną w postaci kierunkowej
\(\frac{x-3}{2}=y=\frac{z+3}{-4}\)
na postać parametryczną.
Przekształć prostą \(l\) daną w postaci kierunkowej
\(\frac{x}{-4}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+2}{7}\)
na postać parametryczną i krawędziową.
Oblicz długość wektora
\(\vec{v}=[2,1,-2]\)
Oblicz odległość między punktami
\(P=(1,-3,0),\,\,Q=(3,-5,1)\)
Oblicz długość odcinka \(AB\), gdzie
\(A=(1,2,3),\,\,\,B=(3,2,1)\)
Oblicz kąt między prostą \(l:\frac{x-2}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{-4}\) i płaszczyzną \(\pi:\,x+y-z+1=0\)
Oblicz odległość punktu \(P=(0,1,0)\) od prostej \(l\)
\(l:\,\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\)
Oblicz odległość płaszczyzn równoległych:
(a) \(\pi_1:\,2x-3y+6z+4=0,\,\pi_2:\,2x-3y+6z=0\)
(b) \(\pi_1:\,x+2y-z-1=0,\,\pi_2:\,2x+4y-2z-4=0\)
Oblicz odległość punktu P od płaszczyzny \(\pi\), gdzie
(a) \(P=(1,-3,0),\,\,\pi:\,5x+3y-z+4=0\)
(b) \(P=(-5,2,3),\,\,\pi:\,x-2y+2z+3=0\)
Sprawdź, czy odcinek \(\overline{AB}\), gdzie \(A=(-1,4,-3),\,B=(-2,1,3)\) należy do płaszczyzny
\(\pi:\,-2(x+1)+3(y-4)-(z+3)=0\)
Sprawdź, czy wektor \(\vec{AB}\), gdzie \(A=(1,-1,3),\,B=(-4,2,6)\) należy do prostej
\(l:\,\left\{\begin{array}{l}x=2-5\cdot t\\y=1+3\cdot t\\z=3t\end{array}\right.\)
Sprawdź czy punkty \(A=(5,-1,-2),\,B=(3,0,-2)\) należą do prostej
\(l:\,\frac{x-3}{-2}=\frac{y}{3}=\frac{z+2}{0}\)
Jesteś w dziale Geometria analityczna zadania z rozwiązaniami
W tej kategorii znajdziesz rozwiązania typowych zadań z geometrii analitycznej, w tym dotyczące wektorów (iloczyn skalarny i wektorowy), równań prostej o płaszczyzny oraz wzajemnego położenia punktów, prostych i płaszczyzn (równoległość i prostopadłość).
W podkategorii poświęconej wektorom znajdziesz zadania z iloczynu skalarnego i wiektorowego wektorów oraz przykłady jak sprawdzić czy wektory są prostopadłe lub równoległe (i jaki tworzą kąt między sobą). W dziale poświęconym równaniom prostych i płaszczyzn znajdziesz przykłady jak znaleźć równanie parametryczne i kierunkowe prostej oraz równanie parametryczne i ogólne płaszczyzny. Ostatnia podkategoria zawiera przykłady jak obliczyć kąt między prostą a płaszczyzną lub między dwoma płaszczyznami, a także jak obliczyć odległość punktu od płaszczyzny czy prostej.
Aby uczyć się jak najbardziej efektywnie, należy przeanalizować rozwiązania jak największej loczby przykładów i zadań, następnie należy rozwiązać samodzielnie jak najwięcej zadań. Oczywiście aby rozwiązywać zadania musisz znać podstawowe wzory i schematy, które znajdziesz we wskazówkach do każdego zadania. W przypadku, gdy któryś z kroków rozwiązania jest niejasny, można zadać pytanie w komentarzu pod zadaniem.