Zestawy zadań "pewniaków" z Algebry liniowej

Zadanie 1

Wykonaj podane działania na macierzach A, B i C:

Zadanie 2

Oblicz wyznacznik macierzy:

Zadanie 3

Korzystając z metody dołączonej macierzy jednostkowej (Gaussa) oblicz macierz odwrotną do macierzy:

Zadanie 4

Znajdź macierz X spełniającą równanie macierzowe:

Zadanie 1

Wykonaj mnożenie macierzy:

Zadanie 2

Oblicz wyznacznik macierzy \(C=A^{-1}\cdot B^T\):

Zadanie 3

Korzystając z twierdzenia o macierzy odwrotnej oblicz macierz odwrotną do macierzy stopnia 3:

Zadanie 4

Znajdź macierz X spełniającą równanie macierzowe:

Zadanie 1

Wykonaj dzielenie liczb zespolonych:

Zadanie 2

Korzystając ze wzoru de Moivre'a oblicz potęgę:

Zadanie 3

Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb zespolonych:

Zadanie 4

Oblicz pierwiastki zespolone liczby zespolonej:

Zadanie 1

Rozwiąż równanie zespolone:

Zadanie 2

Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb zespolonych:

Zadanie 3

Oblicz pierwiastki zespolone z liczby zespolonej:

Zadanie 4

Rozwiąż równanie zespolone:

Zadanie 1

Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb zespolonych:

Zadanie 2

Rozwiąż równanie zespolone:

Zadanie 3

Stosując rozwinięcie Laplace'a oblicz wyznacznik macierzy 4x4:

Zadanie 4

Znajdź macierz X spełniającą równanie macierzowe:

Zadanie 1

Korzystając ze wzoru de Moivre'a oblicz potęgę:

Zadanie 2

Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb zespolonych:

Zadanie 3

Wykonaj mnożenie macierzy:

Zadanie 4

Stosując rozwinięcie Laplace'a oblicz wyznacznik macierzy wymiaru 4x4:

Zadanie 1

Rozwiąż układ równań z 3 niewiadomymi metodą macierzową:

Zadanie 2

Rozwiąż układ Cramera z 3 niewiadomymi:

Zadanie 3

Rozwiązać układ równań metodą wyznacznikową:

Zadanie 4

Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru p. Dla p=2, korzystając ze wzorów Cramera wyznacz wartość niewiadomej y:

Zadanie 1

Określ stopień wielomianu \((W(x)+Q(x))\cdot P(x)\), gdzie:

\(W(x)=7x^3-1\)
\(Q(x)=2x^2+x\)
\(P(x)=-5x+3\)

Zadanie 2

Oblicz iloraz oraz resztę z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez wielomian \(Q(x)\), gdzie:

\(W(z)=z^5+3z^2+7iz-1\)
\(Q(z)=z-i\)

Zadanie 3

Znajdź wszystkie pierwiastki wymierne wielomianu

\(W(x)=4x^4-7x^2-5x-1\)

Zadanie 4

Rozłożyć funkcję wymierną na ułamki proste

\(\frac{1}{x^2+4x-5}\)

Zadanie 1

Oblicz długość wektora

\(\vec{v}=[2,1,-2]\)

Zadanie 2

Zbadaj prostopadłość wektorów:

\(\vec{a}=[-3,2,7],\,\,\vec{b}=\left[4,-1,2\right]\)

Zadanie 3

Oblicz pole równoległoboku rozpiętego na wektorach

\(\vec{a}=[1,2,3],\,\,\vec{b}=\left[3,2,-1\right]\)

Zadanie 4

Napisać równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez punkty:

\(A=(-1,0,1),\,\,B=(5,0,6),\,\,C=(1,1,1)\)

Zadanie 1

Znaleźć wartości x, które spełniają równanie z wyznacznikiem:

Zadanie 2

Niech \(z\neq 0\), będzie pewną liczbą zespoloną. Która z liczb ma najmniejszy moduł:

Zadanie 3

Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb zespolonych:

Zadanie 4

Rozwiązać układ równań metodą eliminacji Gaussa:

Zadanie 5

Określić liczbę rozwiązań układu równań przy użyciu twierdzenia Kroneckera-Capellego:

Zadanie 1

Oblicz wyznacznik macierzy 6x6:

Zadanie 2

Oblicz moduł liczby zespolonej:

Zadanie 3

Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb zespolonych:

Zadanie 4

Stosując wzory Cramera wyznacz niewiadomą y

Zadanie 5

Rozwiązać układ równań przy użyciu metody eliminacji Gaussa:

Zadanie 1

Wykonaj działania na macierzach:

\(\left(\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&2\end{array}\right]^T-\left[\begin{array}{cc}0&2\\-1& 0\end{array}\right]\right)\cdot \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\-1& 2&0\end{array}\right]\)

Zadanie 2

Oblicz potęgę liczby zespolonej:

\((1+i)^8\)

Zadanie 3

Nie wykonując dzielenia wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez \(Q(x)\), gdzie:

\(W(x)=x^5+2x^4+3x+1\)
\(Q(x)=x^2+x-2\)

Zadanie 4

Oblicz pierwiastki zespolone wielomianu:

\(W(z)=z^2+2iz+1\)

Zadanie 5

Rozwiąż metodą eliminacji Gaussa:

\(\left\{\begin{array}{ccccccccc}2x_1&+&x_2&-&x_3&+&x_4&=&1\\&& x_2& +&3x_3&-&3x_4&=&1\\x_1&+&x_2&+&x_3&-&x_4&=&1\end{array}\right.\)

Zadanie 1

Rozwiąż układ równań z 3 niewiadomymi metodą macierzową:

Zadanie 2

Rozwiąż nierówność z argumentem liczby zespolonej i wykonaj rysunek na płaszczyźnie zespolonej:

\(0< \arg(z)< \frac{\pi}{4}\)

Zadanie 3

Wyznaczyć rozkład funkcji na ułamki proste

\(\frac{-3x^2+4}{x(x+2)(x+3)}\)

Zadanie 4

Dla jakich parametrów \(a,b\in\mathbb{R}\), wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są prostopadłe:

\(\vec{u}=[a+b,1,b],\,\,\vec{v}=\left[-1,2a,3\right]\)

Zadanie 5

Napisać równanie parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez punkty:

\(A=(-1,0,1),\,\,B=(5,0,6),\,\,C=(1,1,1)\)