Start 
Ile wynosi wartość oczekiwana i wariancja dyskretnej zmiennej losowej o rozkładzie dwupunktowym
\[P(X=-1)=0,3,\,\,\,P(X=1)=0,7\]
Rozwiązanie
Liczymy wartość oczekiwaną zmiennej losowej \(X\) o rozkładzie dyskretnym wprost ze wzoru:
\[EX=(-1)\cdot P(X=-1)+1\cdot P(X=1)=(-1)\cdot 0,3+1\cdot 0,7=0,4\]
Również wariancję zmiennej losowej \(X\) o rozkładzie dyskretnym liczymy wprost ze wzoru:
\[VarX=EX^2-(EX)^2=((-1)^2\cdot 0,3+1^2\cdot 0,7)-(0,4)^2=1-0,16=0,84\]
Odp. Wartość oczekiwana wynosi \(EX=0,4\) natomiast wariancja \(Var X=0,84\).
Wskazówki
Rozkład prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej
Jeżeli zmienna losowa \(X\) przyjmuje wartości dyskretne ze zbioru \(\{x_1,x_2,...,x_n\}\), to rozkładem prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej nazywamy funkcję przyporządkowującą jej realizacjom odpowiadające im prawdopodobieństwa wystąpienia, czyli:
\[(*)\,\,\,P(X=x_i)=p_i,\,\,\,\,i=1,2,...,n\]
gdzie:
\[p_i\ge 0,\,\,\,\,p_1+p_2+...+p_n=1\]
- \(x_i\) - elementy zbioru \(\{x_1,x_2,...,x_n\}\), czyli wartości zmiennej losowej \(X\)
- \(p_i\) - prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową \(X\) wartości \(x_i\)
Wartość oczekiwana dyskretnej zmiennej losowej
Jeżeli \(X\) jest dyskretną zmienną losową o rozkładzie \((*)\) (patrz wyżej), to jej wartość oczekiwaną liczymy ze wzoru:
\[EX=x_1P(X=x_1)+x_2P(X=x_2)+...+x_nP(X=x_n)=\]
\[=x_1p_1+x_2p_2+...+x_np_n=\sum\limits_{k=1}^n x_k p_k\]
Wariancja dyskretnej zmiennej losowej
Wariancja zmiennej losowej o rozkładzie \((*)\) (patrz wyżej) dana jest wzorem:
\[VarX=E(X-EX)^2=EX^2-(EX)^2=\]
\[=x^2_1P(X=x_1)+x^2_2P(X=x_2)+...+x^2_nP(X=x_n)-(EX)^2=\]
\[=x^2_1p_1+x^2_2p_2+...+x^2_np_n-(EX)^2=\sum\limits_{k=1}^n x^2_kp_k-\left(\sum\limits_{k=1}^n x_k p_k\right)^2\]
Stosowane jest również oznaczenie \(D^2X\):
\[D^2 X=VarX\]
UWAGA: \(EX^2=E(X^2)\) to oznaczenie wartości oczekiwanej zmiennej losowej podniesionej do kwadratu, natomiast \((EX)^2\) oznacza wartość oczekiwaną podniesioną do kwadratu (najpierw liczymy wartość oczekiwaną i potem podnosimy wynik do kwadratu).
Komentarzy (0)