Udowodnij równość zbiorów
\(A\cap B=(A\cup B)\cap (A\cap B)\).

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Udowodnij równość zbiorów
\(A=(A\cap B)\cup (A\setminus B)\).

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Udowodnij równość zbiorów
\(A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)\).

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Udowodnij równość zbiorów
\(A\setminus B=(A^c \cup B)^c\).

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Udowodnij równość zbiorów
\((A\cap B)\cup(A' \cup B')=\Omega\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Niech \(A\setminus B=\emptyset\). Udowodnij, że
\(A\cap(A' \cup B')=\emptyset\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Udowodnij, że
\((A\cup B)\setminus(C \setminus A)=A\cup (B\setminus C)\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Udowodnij, że
\((A\setminus B)\setminus(B \setminus C)=A\setminus B\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Udowodnij, że
\((A\setminus B)\cup (B \setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Udowodnij, że
\(((A'\cup B')\setminus A)'=A\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Udowodnij, że
\((A\setminus B)\setminus A'\subset A\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Udowodnij, że
\(A\setminus (A\setminus B)\subset B\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Oblicz liczbę:

(a) permutacji zbioru 5-elementowego
(b) 3-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 5-elementowego
(c) 3-elementowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego
(d) 3-elementowych kombinacji bez powtórzeń ze zbioru 5-elementowego
(e) 3-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego

Zobacz rozwiązanie >>

Oblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie pierwsza cyfra jest parzysta, a pozostałe nieparzyste.

Zobacz rozwiązanie >>

Na ile sposobów można umieścić 3 różne kulki w 5 różnych szufladach, tak aby każda była w innej szufladzie.

Zobacz rozwiązanie >>

Na ile sposobów można włożyć 20 jednakowych kul do 3 szuflad, tak aby w pierwszej było 11 kul w drugiej 5 a w trzeciej 4?

Zobacz rozwiązanie >>

Ile jest podzbiorów 2-elementowych zbioru {a,b,c,d}?

Zobacz rozwiązanie >>

Ile jest możliwych wyników losowania dużego lotka?

Zobacz rozwiązanie >>

Oblicz liczbę kombinacji bez powtórzeń (symbol Newtona):

(a) \(\binom{3}{2}\)

(b) \(\binom{6}{6}\)

(c) \(\binom{49}{6}\)

(d) \(\binom{10}{1}\)

Zobacz rozwiązanie >>

Na Ile sposobów 7 osób jedących windą, w budynku mającym 10 pięter, może opuścić windę.

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Tablica rejestracyjna zawiera 3 litery alfabetu liczącego 24 litery oraz 4 cyfry. Ile jest różnych tablic?

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Na ile sposobów można umieścić 4 różne kule w 8 urnach:

(a) tak aby każda była w innej urnie
(b) tak aby dwie kule były w tej samej urnie

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Na ile sposobów można umieścić n różnych kul w n ponumerowanych urnach, tak aby:

(a) każda kula była w innej urnie
(b) dokładnie jedna urna była pusta

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Na ile sposobów można umieścić k kul w n szufladach (\(k\leq n\)), przy założeniu, że:

(a) kule są rozróżnialne (ponumerowane)
(b) kule są rozróżnialne (ponumerowane) i każda kula ma być w innej szufladzie
(c) kule są identyczne (nierozróżnialne)
(d) kule są identyczne (nierozróżnialne) i każda kula ma być w innej szufladzie

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Na ile sposobów można rozdać 10 identycznych pączków 15 osobom? Może się zdarzyć, że któraś osoba nie dostanie pączka.

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Na ile sposobów można połączyć ze sobą za pomocą odcinków 7 punktów leżących na płaszczyźnie?

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Ile przekątnych ma n-kąt foremny (wielokąt o n bokach)?

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Wyznacz liczbę elementów zbioru, dla którego liczba 2-elementowych wariacji bez powtórzeń jest o 3 mniejsza niż liczba 2-elementowych wariacji z powtórzeniami.

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Wykaż, że:

\(V_n^k=C_n^k\cdot P_k\)

gdzie \(V_n^k\) to k-elementowe wariacje bez powtórzeń zbioru n-elementowego, \(C_n^k\) to liczba k-elementowych kombinacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego, a  \(P_k\) to liczba permutacji zbioru k-elementowego.

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Wyznacz liczbę elementów zbioru A, dla którego liczba permutacji jest 15 razy mniejsza niż liczba permutacji zbioru do którego dodano jeden element

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Dla zbioru \(\{a,b,c\}\) wypisać wszystkie:

(a) permutacje
(b) wariacje bez powtórzeń
(c) wariacje z powtórzeniami
(d) kombinacje bez powtórzeń
(e) kombinacje z powtórzeniami

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Na ile sposobów można wybrać z 20-osobowej klasy:

(a) delegację złożoną z 3 osoób
(b) przewodniczącego, jego zastępcę oraz skarbnika

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Na konferencji spotkało się n osób i każda przywitała się z każdą przez podanie ręki. Ile osób było na konferencji jeśli nastąpiło 10 powitań.

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Z talii 52 kart losujemy bez zwracania 6 kart. Na ile sposobów można wylosować zestaw kart, w którym będą 2 walety i 3 damy.

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Z talii 52 kart losujemy bez zwracania 10 kart. Na ile sposobów można wylosować zestaw kart, w którym będą 3 walety i 4 damy.

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Z talii 52 kart wybrano 6 kart wśród których były cztery asy i dokładnie jeden król. Na ile sposobów mozna dokonac takiego wyboru?

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Wykaż, że:

\(k\cdot \binom{n}{k}=n\cdot \binom{n-1}{k-1}\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Wykaż, że:

\(\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

W kolejce stoi 6 kobiet i 8 mężczyzn. Na ile sposobów można ustawić te osoby w kolejce:

(a) nie rozróżniając osób ze względu na płeć
(b) tak, aby kobiety stały przed mężczyznami

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Na ile sposobów z talii 52 kart można wybrać 5 tak, aby wśród kart była dokładnie jedna para.

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Na ile sposobów można utworzyć 3 pary spośród n osób?

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Na ile sposobów można utworzyć 5 par spośród 10 osób?

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Ile jest rozmieszczeń elementów zbioru n-elementowego, w których:

(a) danych k-elementów stoi jeden obok drugiego (k elementów twrozy jeden blok)
(b) danych k-elementów nie stoi jeden obok drugiego (k elementów nie tworzy jednego zwartego bloku)
(c) żadne dwa elementy spośród danych k elementów nie stoją jeden obok drugiego

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Na ile sposobów można ustawić w szeregu sześć kobiet i sześciu mężczyzn tak, aby żadne dwie osoby tej samej płci nie stały obok siebie?

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

n osób wita się poprzez uścisk dłoni każdy z każdym. Ile nastąpi powitań?

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

W turnieju startuje 12 osób. Każdy zawodnik rozgrywa 2 mecze z każdym ze swoich przeciwników. Ile meczy zostanie rozegranych?

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Na ile sposobów można wybrać 4 karty z talii 52 kart tak, aby karty były w różnych kolorach?

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Załóżmy, że rok ma 365 dni. Na ile sposobów można utworzyć grupę n osób w której wszystkie osoby będą miały urodziny w różne dni?

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Obliczyć prawdopodobieństwo, że rzucając symetryczną kostką do gry otrzymamy parzystą liczbę oczek.

Zobacz rozwiązanie >>

Obliczyć prawdopodobieństwo, że rzucając dwukrotnie symetryczną kostką do gry otrzymamy dwa razy liczbę 6.

Zobacz rozwiązanie >>