NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 30 000 studentów. Dołącz i Ty!

Logowanie

Kategorie zadań z rozwiązaniami z matematyki wyższej

Przekształć prostą daną w postaci parametrycznej

\(\left\{\begin{array}{l}x=2-3\cdot t\\y=2\cdot t\\z=1-t\end{array}\right.\)

na postać kierunkową.

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Przekształć prostą \(l\) daną w postaci krawędziowej

\(\left\{\begin{array}{l}-x+3y+2z+1=0\\-x+2y+5z-3=0\end{array}\right.\)

na postać parametryczną.

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Sprawdź, czy wektor \(\vec{AB}\), gdzie \(A=(1,-1,3),\,B=(-4,2,6)\) należy do prostej

\(l:\,\left\{\begin{array}{l}x=2-5\cdot t\\y=1+3\cdot t\\z=3t\end{array}\right.\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Wyznacz wartości logiczne zdań:

(a) \((3<4)\vee (3>4)\)
(b) \((3<4)\wedge (3>4)\)
(c) \((3<4)\Rightarrow (3>4)\)
(d) \((3<4)\Leftrightarrow (3>4)\)

Zobacz rozwiązanie >>

Określ wartości logiczne zdań:

(a) 5<6
(b) 8 jest liczbą pierwszą
(c) dziedziną funkcji \(f(x)=x\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych

Zobacz rozwiązanie >>

Sprawdzić metodą zerojedynkową czy podana formuła logiczna (prawo de Morgana) jest tautologią:

\(\sim (p \wedge q) \Leftrightarrow \left[ (\sim p) \vee (\sim q) \right]\)

Zobacz rozwiązanie >>

Sprawdź za pomocą tabelki logicznej czy podane wyrażenie jest tautologią

\(((p \wedge q) \Rightarrow r)\Rightarrow \left( p  \Rightarrow (q\Rightarrow r) \right)\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Sprawdź za pomocą tabelki logicznej czy podane wyrażenie jest tautologią

\(\sim (\sim(\sim p \vee q) \Rightarrow p)\Rightarrow \left( \sim p  \Leftrightarrow q \right)\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Wyznacz wartości logiczne zdań, gdy \(w(p)=1\) i \(w(q)=0\):

(a) \(p\vee q\)
(b) \(p\wedge (\sim q)\)
(c) \((p\Rightarrow q) \vee (\sim q)\)
(d) \(p\Rightarrow (q \wedge (\sim p))\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Wykaż, że ze sprzeczności wynika dowolne zdanie prawdziwe (jeśli zdanie i jego zaprzecznie jest jednocześnie prawdziwe, to wynika z niego dowolne zdanie prawdziwe).

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Korzystając z praw de Morgana oraz praw logicznych wyznacz zaprzeczenia zdań:

(a) \(p \vee \sim q\)
(b) \((p \Rightarrow q) \wedge (q\Rightarrow p)\)
(c) \((p \wedge q) \Rightarrow (\sim p\vee q)\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Wiedząc, że wartość zdania wynosi \(w(p\vee q)=1\) określ wartość logiczną wyrażeń:

(a) \((p\vee q)\vee (p\wedge q)\)
(b) \(r\Rightarrow (p\vee q)\)
(c) \((p \wedge q) \Rightarrow (p\vee q)\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Sprawdź czy wyrażenie jest tautologią bez używania tabelki logicznej:

\([(\sim p)\wedge q]\Rightarrow [(\sim(q\Rightarrow p))\wedge (p\Rightarrow q)]\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Sprawdź, czy zbiory A i B są rozłączne:

A - zbiór wszystkich trójkątów prostokątnych leżących na płaszczyźnie x0y

B - zbiór wszystkich trójkątów równobocznych leżących na płaszczyźnie x0y

Zobacz rozwiązanie >>

Niech \(A=\{1,2,3\}\) i \(B=\{3,4,5\}\) będą zbiorami w przestrzeni \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\). Wykonaj działania na zbiorach:

(a) \(A\cup B\)
(b) \(A\cap B\)
(c) \(A^c\)
(d) \(B^c\)
(e) \(A\setminus B\)
(f) \(B\setminus A\)

Zobacz rozwiązanie >>

Oblicz iloczyn kartezjański zbiorów \(A\times B\) oraz \(B\times A\), gdzie:

(a) \(A=\{0\},\,B=\{1\}\)
(b) \(A=\{1,2,3\},\,\,B=\{3,4\}\)

Czy \(A\times B=B\times A\)?

Zobacz rozwiązanie >>

Wyznacz zbiór potęgowy zbioru A, gdzie:

(a) \(A=\{0\}\)
(b) \(A=\emptyset\)
(c) \(A=\{1,2,3\}\)

Ile elementów ma zbiór potęgowy zbioru skończonego?

Zobacz rozwiązanie >>

Niech \(A=\left(-\frac{1}{2},6\right)\) i \(B=\mathbb{N}\) będą zbiorami w przestrzeni \(\Omega=\mathbb{R}\). Wykonaj działania na zbiorach:

(a) \(A\cup B\)
(b) \(A\cap B\)
(c) \(A^c\)
(d) \(A\setminus B\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Niech \(A=\left(0,4\right)\) i \(B=\{0,4\}\) będą zbiorami w przestrzeni \(\Omega=\mathbb{R}\). Wykonaj działania na zbiorach:

(a) \(A\cup B\)
(b) \(A\cap B^c\)
(c) \(A^c\setminus B\)
(d) \(2^B\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Zbadaj czy podane zbiory są równe::

\(A=\{x\in\mathbb{N}:\,\ln(x)\ge 0\}\cap \{x\in\mathbb{N}:\,x^2\le 4\}\)
\(B=\{x\in\mathbb{R}:\,x>1\wedge x<2\}\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Na tej stronie znajdziesz około tysiąca zadań z rozwiązaniami i przykładów krok po kroku głównie z zakresu matematyki wyższej, jak również z matematyki na poziomie liceum. Zadania podzielone są na działy tematyczne zazwyczaj według przedmiotów i tematów wymaganych na studiach, np. zadania z pochodnych funkcji i całek (analiza matematyczna), macierzy i liczb zespolonych (algebra liniowa), zmiennych losowych i prawdopodobieństwa (rachunek prawdopodobieństwa) itd.

W każdej kategorii znajdziesz zadania o różnym poziomie trudności, a pod każdym zadaniem znajdziesz wiele wskazówek jak przebiega rozwiązanie, potrzebne definicje i wzory oraz podsumowanie schematów użytych w rozwiązaniu. Często rozwiązanie zadania omówione jest wręcz krok po kroku. Warto starać się samodzielnie rozwiązać jak najwięcej zadań znajdujących się na stronie, ponieważ są tu zebrane typowe zadania z kolokwiów i egzaminów z polskich uczelni. Nauka matematyki na przykładach i konkretnych zadaniach jest najbardziej efektywna - potwierdzają to badania naukowe. Trzeba tylko uczyć się (a właściwie analizować przykłady i rozwiązywać zadania) konsekwentnie i wytrwale, a efekty w postaci lepszego zrozumienia pojęć i schematów oraz umiejętność samodzielnego rozweiązywania podobnych zadań przyjdą same.

Pamiętaj, że zawsze masz możliwość zadania pytania w komentarzu pod każdym zadaniem - warto z tej możliwości korzystać, ponieważ na tej stronie nie ma głupich pytań i każde, nawet najgłupsze pytanie znajdzie swoją odpowiedź. Powodzenia w zrozumieniu matematyki!