Start 
Oblicz liczbę:
(a) permutacji zbioru 5-elementowego
(b) 3-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 5-elementowego
(c) 3-elementowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego
(d) 3-elementowych kombinacji bez powtórzeń ze zbioru 5-elementowego
(e) 3-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego
Rozwiązanie
(a) Permutacje zbioru n-elementowego liczymy ze wzoru:
\[P_n=n!=1\cdot 2\cdot ...\cdot n\]
stąd:
\[P_5=5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 \cdot 5=120\]
(b) k-elementowe wariacje bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego liczymy ze wzoru:
\[V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n\cdot (n-1)\cdot ... \cdot (n-k+1),\,\,k\geq 0,\,n\geq 1\]
stąd:
\[V_5^3=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{\not{2!}\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{\not{2!}}=60\]
(c) k-elementowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego liczymy ze wzoru:
\[\overline{V}_n^k=n^k=\underbrace{n\cdot n\cdot \ldots \cdot n}_{k\,-\,razy}\]
stąd:
\[\overline{V}_5^3=5^3=5\cdot 5\cdot 5=125\]
(d) Liczbę kombinacji k-elementowych bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego liczymy ze wzoru:
\[C_n^k=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\]
stąd:
\[C_5^3=\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!\cdot (5-3)!}=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=\frac{\not{3!}\cdot 4\cdot 5}{\not{3!}\cdot 1\cdot 2}=10\]
(e) Liczbę kombinacji k-elementowych z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego liczymy ze wzoru:
\[\overline{C}_n^k=\binom{n+k-1}{k}=\frac{(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}\]
stąd:
\[\overline{C}_5^3=\binom{5+3-1}{3}=\frac{7!}{3!\cdot 4!}=\frac{\not{4!}\cdot 5\cdot 6\cdot 7}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \not{4!}}=\frac{5\cdot \not{6}\cdot 7}{\not{6}}=35\]
Wskazówki
! oznacza symbol silni:
\[n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ... \cdot n\]
\(n\choose k\) to symbol Newtona:
\[{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\]
Permutacje zbioru n-elementowego
\[P_n=n!=1\cdot 2\cdot ...\cdot n\]
Wariacje k-elementowe bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego
Niech \(k,n\in\mathbb{N},\,\,k\leq n\):
\[V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n\cdot (n-1)\cdot ... \cdot (n-k+1),\,\,k\geq 0,\,n\geq 1\]
Wariacje k-elementowe z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego
Niech \(k,n\in\mathbb{N},\,\,k\leq n\):
\[\overline{V}_n^k=n^k=\underbrace{n\cdot n\cdot \ldots \cdot n}_{k\,-\,razy}\]
Kombinacje k-elementowe bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego
Niech \(k,n\in\mathbb{N},\,\,k\leq n\):
\[C_n^k={n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\]
Kombinacje k-elementowe z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego
Niech \(k,n\in\mathbb{N},\,\,k\leq n\):
\[C_{n-1+k}^{k}=\overline{C}_n^k={{n+k-1}\choose {k}}=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}\]
Prawdziwa jest równość:
\[{{n-1+k}\choose {k}}={{n-1+k}\choose {n-1}}\]
Komentarzy (0)