Znajdź wszystkie liczby zespolone \(z\) spełniające równanie

\[z=\overline{z}\]

Rozwiązanie

Niech \(z=x+yi\), gdzie \(x,y\) to liczby rzeczywiste, wtedy (\(\overline{z}\) to sprzężenie liczby zespolonej z):

\[\overline{z}=x-yi\]

Zatem nasze równanie przyjmuje następującą postać:

\[x+yi=x-yi\]

Porównując części rzeczywiste i urojone obu stron równania mamy:

\[x=x,\,\,y=-y\]

Stąd:

\[x\in \mathbb{R},\,\,2y=0\]

Ostatecznie:

\[x\in \mathbb{R},\,\,y=0\]

Odp. Rozwiązaniem naszego równania są liczby postaci \(z=x\), gdzie \(x\in\mathbb{R}\) (czyli wszystkie liczby rzeczywiste).

Niech \(z=x+yi\), gdzie \(x,y\) to liczby rzeczywiste.

\(\overline{z}\) to sprzężenie liczby zespolonej z:

\[\overline{z}=x-yi\]

Dwie liczby zespolone \(z_1=x_1+y_1i,\,\,z_2=x_2+y_2i\) są równe, wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe:

\[z_1=z_2\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\left\{\begin{array}{l}Re(z_1)=x_1=x_2=Re(z_2)\\Im(z_1)=y_1=y_2=Im(z_2)\end{array}\right.\]