Znajdź wszystkie liczby zespolone \(z\) spełniające równanie

\[z=|z|\]

Rozwiązanie

Niech \(z=x+yi\), gdzie \(x,y\) to liczby rzeczywiste, wtedy:

\[|z|=\sqrt{x^2+y^2}\]

Zatem nasze równanie przyjmuje następującą postać:

\[x+yi=\sqrt{x^2+y^2}\]

Zauważmy, że \(|z|\) jest liczbą rzeczywistą nieujemną, dlatego porównując części rzeczywiste i urojone obu stron równania mamy:

\[x=\sqrt{x^2+y^2},\,\,y=0\]

Stąd:

\[x=\sqrt{x^2}=|x|,\,\,y=0\]

Ostatecznie (z definicji modułu liczby rzeczywistej):

\[x\ge 0,\,\,y=0\]

Odp. Rozwiązaniem naszego równania są liczby postaci \(z=x\), gdzie \(x\ge 0\) (czyli wszystkie liczby rzeczywiste nieujemne).

Moduł liczby zespolonej \(z=x+yi\), (\(x,y\) to liczby rzeczywiste), który liczymy ze wzoru:

\[|z|=\sqrt{x^2+y^2}\]

Dwie liczby zespolone \(z_1=x_1+y_1i,\,\,z_2=x_2+y_2i\) są równe, wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe:

\[z_1=z_2\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\left\{\begin{array}{l}Re(z_1)=x_1=x_2=Re(z_2)\\Im(z_1)=y_1=y_2=Im(z_2)\end{array}\right.\]