Znajdź wszystkie liczby zespolone \(z\) spełniające równanie

\[\frac{z+1}{\overline{z}-1}=-1\]

Rozwiązanie

Mnożymy obie strony przez \(\overline{z}-1\) wtedy:

\[\frac{z+1}{\overline{z}-1}=-1\,\,/\cdot (\overline{z}-1)\]

\[z+1=-(\overline{z}-1)\]

Nasze równanie przyjmuje następującą postać:

\[z+1=1-\overline{z}\]

a stąd:

\[z=-\overline{z}\]

Niech \(z=x+yi\), wtedy \(\overline{z}=x-yi\) i mamy:

\[x+yi=-(x-yi)\]

\[x+yi=-x+yi\]

Porównując części rzeczywiste i urojone obu stron równania mamy:

\[x=-x,\,\,\,y=y\]

stąd:

\[2x=0,\,\,y\in \mathbb{R}\]

Zatem równanie spełniają wszystkie liczby zespolone postaci \(z=yi\), gdzie \(y\in\mathbb{R}\).

Niech \(z=x+yi\), gdzie \(x,y\) to liczby rzeczywiste.

\(\overline{z}\) to sprzężenie liczby zespolonej z:

\[\overline{z}=x-yi\]

Dwie liczby zespolone \(z_1=x_1+y_1i,\,\,z_2=x_2+y_2i\) są równe, wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe:

\[z_1=z_2\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\left\{\begin{array}{l}Re(z_1)=x_1=x_2=Re(z_2)\\Im(z_1)=y_1=y_2=Im(z_2)\end{array}\right.\]