W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 30 000 studentów. Dołącz i Ty!

Kategorie zadań z rozwiązaniami z matematyki wyższej

Układy równań liniowych - zadania z rozwiązaniami

Inwestor chce kupić akcje za 100 tys. zł, chcąc uzyskać przeciętny (średni) zysk w ciagu pół roku na poziomie 13,5%, przy ryzyku w wysokości 10%. Doradca inwestycyjny oferuje mu 3 pakiety akcji o róznym średnim wzroście i ryzyku:

Wzory Cramera, zadanie 5

Jakie kwoty pieniędzy powinien zainwestować inwestor w akcjie z każdego pakietu, żeby zrealizować swój cel inwestycyjny?

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru p. Dla p=2, korzystając ze wzorów Cramera wyznacz wartość niewiadomej y:

Układ równań z parametrem, zadanie 6

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Rozwiąż układ równań z 2 niewiadomymi (x,y) metodą przeciwnych współczynników oraz za pomocą wzorów Cramera:

Układ Cramera, zadanie 7

gdzie \(a,b,c,d,p,q\in\mathbb{R}\).

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Rozwiąż układ równań metodą eliminacji Gaussa:

\(\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&2y&+&3z&=&4\\&& y& +&2z&=&3\\&&&&4z&=&4\end{array}\right.\)

Zobacz rozwiązanie >>

Rozwiąż metodą eliminacji Gaussa:

\(\left\{\begin{array}{ccccccccc}2x_1&+&x_2&-&x_3&+&x_4&=&1\\&& x_2& +&3x_3&-&3x_4&=&1\\x_1&+&x_2&+&x_3&-&x_4&=&1\end{array}\right.\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Rozwiąż układ metodą eliminacji Gaussa:

\(\left\{\begin{array}{ccccccccc}2x_1&+&x_2&-&x_3&+&x_4&=&1\\3x_1&-&2x_2&+&2x_3&-&3x_4&=&2\\5x_1&+&x_2&-&x_3&+&2x_4&=&-1\\2x_1&-&x_2&+&x_3&-&3x_4&=&4\end{array}\right.\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Rozwiąż układ metodą eliminacji Gaussa:

\(\left\{\begin{array}{ccccccc}2x_1&+&x_2&+&x_3&=&1\\3x_1&-&x_2&+&3x_3&=&2\\x_1&+&x_2&+&x_3&=&0\\x_1&-&x_2&+&x_3&=&1\end{array}\right.\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Stosując twierdzenie Kroneckera-Capellego zbadaj liczbę rozwiązań układu równań liniowych. Następnie rozwiąż układ (jeśli to konieczne przedstaw rozwiązania za pomocą parametrów):

Twierdzenie Kroneckera-Capellego, zadanie 4

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Zapisz macierz główną układu równań:

\(\left\{\begin{array}{ccccccc}x&-&4y&+&5z&=&2\\&& 2y& -&z&=&1\\4x&+& 2y&+&z&=&0\end{array}\right.\)

Zobacz rozwiązanie >>

Zapisz układ równań w postaci macierzowej:

\(\left\{\begin{array}{cccccccccc}2x&+&y&-&z&+&3t&=&1\\-x&+&7y&-&3z&-&5t&=&2\\2x&&&+&9z&-&2t&=&3\\x&+&y&&&+&2t&=&4\end{array}\right.\)

Zobacz rozwiązanie >>

Rozwiązując odpowiedni układ równań, wyznacz równanie trójmianu kwadratowego przechodzącego przez punkty:

Układ równań z parametrem, zadanie 1

Zobacz rozwiązanie >>

Jesteś w dziale Układy równań liniowych zadania z rozwiązaniami

W tej kategorii znajdziesz rozwiązania typowych zadań z zakresu układów równań liniowych, w tym przykłady rozwiązywania układów Cramera, metody eliminacji Gaussa, twierdzenia Kroneckera-Capellego oraz przykłady pokazujące inne metody rozwiązywania układów równań.

Układy równań liniowych są ściśle związane z macierzami i wyznacznikami, ponieważ niemal w każdej metodzie rozwiązywania układów stosujemy pojęcia związane z macierzami, np. układy Cramera rozwiązujemy za pomocą wzorów Cramera, w których występują wyznaczniki.

Metoda eliminacji Gaussa polega na zapisaniu układu w postaci macierzowej i przeprowadzanie operacji elementarnych na wierszach macierzy rozszerzonej tak długo, aż otrzymamy macierz schodkową. Naszym celem w tej metodzie jest więc zerowanie elementów.

Twierdzenie Kroneckera-Capellego służy do wyznaczania liczby rozwiązań układu równań liniowych i wykorzystuje pojęcie rzędu macierzy. Do innych metod rozwiązywania układów równań możemy zaliczyć metody znane ze szkoły średniej: metoda podstawaiania, graficzna czy metoda przeciwnych współczynników (metody te sprawdzają się jedynie w przypadku układów o małej liczbie równań i niewiadomych - w praktyce 2 równań z 2 niewiadomymi).

Aby uzyskać możliwie najlepsze efekty nauki, warto przeanalizować rozwiązania jak największej loczby zadań z układów równań, następnie trzeba rozwiązać jak najwięcej zadań samodzielnie. Tylko tak można opanować materiał na tyle dobrze by poradzić sobie na kolokwium lub egzaminie. Często będzie Ci się wydawało, że wystarczy zobaczyć rozwiązanie i je zrozumieć - nic bardziej mylnego. Aby naprawdę nauczyć się rozwiązywać zadania skutecznie i bezbłednie, należy rozwiązywać zadania samodzielnie. Jeśli coś w rozwiązaniu zadania będzie niejasne to możesz zadać pytanie w komentarzu pod zadaniem. Na tej stronie obowiązuje zasada, że nie ma głupich pytań i na każde pytanie uzyskasz odpowiedź.