Start Z talii 52 kart losowo wybieramy 5. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród kart będzie dokładnie jedna para.
NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 30 000 studentów. Dołącz i Ty!
Kategorie zadań z rozwiązaniami z matematyki wyższej
- Kombinatoryka (36)
- Prawdopodobieństwo (38)
- Zmienna losowa (6)
- Funkcja charakterystyczna (4)
Strona 2 z 2
Rachunek prawdopodobieństwa - zadania z rozwiązaniami
Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania 4 kart w różnych kolorach z talii 52 kart?
Umieszczamy n ponumerowanych kul w n ponumerowanych urnach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie jedna urna jest pusta.
Umieszczamy losowo 4 nierozróżnialne kule w 8 różnych urnach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
(a) każda kula będzie w innej urnie
(b) dwie kule będą w tej samej urnie
Umieszczamy 4 różne kule w 8 różnych urnach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
(a) każda kula będzie w innej urnie
(b) dwie kule będą w tej samej urnie
Niech \((A_k)_{k=1}^\infty\) będzie ciągiem parami rozłącznych zdarzeń losowych takich, że \(P(A_{k+1})=\frac{2}{3}P(A_k)\) dla \(k=1,2,3,...\) oraz \(\Omega=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_k\). Oblicz \(P(A_1)\).
Pewien student zdaje egzaminy z fizyki i matematyki. Prawdopodobieństwo, że zda fizykę wynosi 0,4, że zda oba egzaminy 0,2, a że zda co najmniej jeden egzamin wynosi 0,7. Oblicz prawdopodobieństwo, że student zda egzamin z matematyki.
Statek (Titanic) posiada 2 przedziały wypornościowe duże i 3 mniejsze. Statek nie utonie (utrzyma się na wodzie) jeśli szczelny będzie co najmniej jeden duży i co najmniej 2 małe przedziały wypornościowe. Niech \(D_1,D_2\) oznaczają, że duże przedziały wypornościowe są szczelne, a \(M_1,M_2,M_3\), że szczelne są małe przedziały wypornościowe. Za pomocą zdarzeń \(D_i,\,\,(i=1,2)\) i \(M_j,\,\,(j=1,2,3)\) zapisz zdarzenie, że statek nie utonie (utrzymuje się na wodzie).
Wiedząc, że \(P(A)=2P(A^c)\) i \(B\subset A\) oblicz prawdopodobieństwa zdarzenia \(P(A\cup B)\)
Obliczyć prawdpodobieństwo, że w grupie n osoób co najmniej 2 osoby będą miały urodziny tego samego dnia.
Wykaż, że jeżeli zdarzenia A i B są niezależne to zdarzenia:
(a) \(A^c\) i \(B\)
(b) \(A^c\) i \(B^c\)
również są niezależne.
Wśród wszystkich rodzin, które mają n dzieci wybieramy losowo jedną rodzinę. Niech A oznacza zdarzenie, że w losowo wybranej rodzinie jest co najwyżej jedna dziewczynka, a B to zdarzenie polegające na tym, że w rodzinie są chłopcy i dziewczynki. Sprawdź dla jakich wartości n, zdarzenia A i B są niezależne.
Rozpatrzmy rzut 2 symetrycznymi, sześciennymi kostkami. Sprawdź, czy zdarzenia A i B są niezależne:
(a) A - suma oczek wynosi 4, B - różnica oczek wynosi 2
(b) A - iloczyn oczek wynosi 2, B - iloraz oczek wynosi 2
Rozpatrzmy rzut symetryczną, sześcienną kostką. Sprawdź, czy zdarzenia A i B są niezależne:
(a) A - wyrzucenie parzystej liczby oczek, B - wyrzucenie liczby oczek większej od 2
(b) A - wyrzucenie nieparzystej liczby oczek, B - wyrzucenie liczby oczek nie większej niż 2
(c) A - wyrzucenie parzystej liczby oczek, B - wyrzucenie nieparzystej liczby oczek
Wiedząc, że \(P(A)=5P(A^c)\), \(P(B^c)=\frac{1}{2}\) i \(P(A\cup B)=\frac{3}{4}\) oraz że zdarzenia A i B są niezależne, oblicz prawdopodobieństwo:
\(P(A\cap B)\)
Załóżmy, że \(P(B)=aP(A)\) dla \(a\in[0,1]\), \(P(A)>0\) i zdarzenia \(A\) i \(B\) są niezależne. Sprawdzić dla jakich \(a\) zachodzi:
\(P(A\cup B)=0\)
Wiedząc, że \(P(A)=3P(A^c)\) i \(P(A\cup B)=\frac{3}{4}\) oraz że zdarzenia A i B są niezależne, oblicz prawdopodobieństwa:
(a) \(P(A)\)
(b) \(P(B)\)
(c) \(P(A\cap B)\)
Wiedząc, że \(P(A)=\frac{1}{4}\) i \(P(A\cup B)=\frac{3}{4}\) oraz że zdarzenia A i B są niezależne, oblicz prawdopodobieństwa:
(b) \(P(B)\)
(a) \(P(A\cap B)\)
(c) \(P(A\setminus B)\)
Wiedząc, że \(P(A\setminus B)=\frac{1}{4}\) i \(P(A\cup B)=\frac{1}{4}\) oraz że zdarzenia A i B są niezależne, oblicz prawdopodobieństwa:
(b) \(P(B)\)
(a) \(P(A\cap B)\)
(c) \(P(A)\)
Wiedząc, że \(P(A\setminus B)=\frac{1}{4}\) oraz \(P(A)=\frac{1}{2}\) i \(A\cup B\) jest zdarzeniem pewnym oblicz prawdopodobieństwa:
(a) \(P(A\cap B)\)
(b) \(P(B)\)
Wiedząc, że \(P(A\setminus B)=\frac{1}{4}\) oraz \(P(A)=\frac{1}{2}\) i \(P(B)=\frac{1}{2}\) oblicz prawdopodobieństwa:
(a) \(P(A\cap B)\)
(b) \(P(A\cup B)\)
(c) \(P(A^c)\) i \(P(B^c)\)
Wykazać, że:
(a) \(P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)\)
(b) \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
(c) \(P(\emptyset)=0\)
(d) \(P(A^c)=1-P(A)\)
(e) Jeżeli \(A\subset B\), to \(P(A)\leq P(B)\)
(f) \(P(A)\leq 1\)
W budynku mającym 10 pięter, 7 osób jedzie windą. Jaka jest szansa, że każda osoba wysiądzie na innym piętrze?
Fabryka produkuje 100 samochodów miesięcznie. Niech \(W_i,\,\,i=1,2,...,100\) oznacza zdarzenie polegające na tym, że i-ty wyprodukowany w miesiącu samochód jest wadliwy. Za pomocą zdarzeń \(A_i\) zapisz następujące zdarzenia:
(a) żadne auto nie jest wadliwe (wszystkie są sprawne)
(b) co najmniej jeden samochód jest wadliwy
(c) wszystkie samochody są wadliwe
Rzucasz kostką do gry:
- gdy wypadnie liczba parzysta dostajesz 100 zł,
- gdy wypadnie 3 lub 5 nic nie dostajesz, ale też nic nie płacisz,
- gdy wypadnie liczba 1 płacisz 200 zł
Niech zmienna losowa X reprezentuje Twoją wygraną. Wyznacz:
(a) rozkład prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę rozkładu zmiennej X
(b) \(P(X>0)\)
(c) wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej X
Ile wynosi wartość oczekiwana i wariancja dyskretnej zmiennej losowej o rozkładzie dwupunktowym:
\(P(X=-1)=0,3,\,\,\,P(X=1)=0,7\)
Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej \(X\), gdy wiadomo, że \(EX=0,1\), \(EX^2=0,9\) oraz zmienna \(X\) przyjmuje tylko trzy wartości:
\(x_1=-1,\,\,\,x_2=0,\,\,\,x_3=1\)
Wyznaczyć dystrybuantę oraz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej o rozkładzie podanym w tabeli:
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 |
| \(p_i\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{4}\) |
Wiedząc, że \(EX=6\) określ dla jakiej wartości parametru p funkcja \(F(x)\) jest dystrybuantą zmiennej losowej X:
\(F(x)=\left\{\begin{array}{l}{0\quad \textrm{dla}\quad x<1\\p\quad \textrm{dla}\,\, 1<x\leq 5\\\frac{1}{2}\quad \textrm{dla}\quad 5<x\leq 7\\\frac{3}{4}\quad \textrm{dla}\quad 7<x\le 11}\\1\quad\textrm{dla}\,\,x>11\end{array}\right.\)
Dla jakiej wartości parametru p tabelka przedstawia rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej:
| \(x_i\) | 1 | 0 | -1 | 2 |
| \(p_i\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{3}\) | p | \(\frac{1}{4}\) |
Wyznaczyć dystrybuantę i wartość oczekiwaną zmiennej losowej.
Oblicz funkcję charakterystyczną rozkładu dwumianowego.
Oblicz funkcję charakterystyczną rozkładu dwupunktowego.
Oblicz funkcję charakterystyczną zmiennej losowej o rozkładzie Poissona.
Oblicz funkcję charakterystyczną zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\lambda\).
Strona 2 z 2
Jesteś w dziale Rachunek prawdopodobieństwa zadania z rozwiązaniami
W tej kategorii znajdziesz rozwiązania typowych zadań z rachunku prawdopodobieństwa, w tym z zakresu kombinatoryki (permutacje, wariacje bez i z powtórzeniami), obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń losowych, zmiennych losowych (rozkład prawdopodobieństwa, wartość oczekiwana i wariancja) oraz funkcji charakterystycznej zmiennej losowej.
Zadania rozwiązane są krok po kroku, a we wskazówkach znajdziesz potrzebne wzory, definicje i wyjaśnienia. Pod każdym rozwiązaniem zadania możesz dodać swój komentarz, w którym możesz zapytać o jakiś fragment rozwiązania. Dzięki temu masz możliwość wyjaśnienia wszystkich wątpliwości i problemów.